Esboce um gráfico da função racional dada e identifique as coordenadas dos pontos estacionários e de inflexão. Mostre as assíntotas horizontais, verticais, oblíquas e curvilíneas e dê suas equações. Identifique (se houver) os pontos em que o gráfico cruza uma assíntota. Confira seu trabalho com um recurso gráfico.

Agora vamos encontrar os cortes com os eixos coordenados fazendo e :

Pronto, agora sabemos onde a função corta o eixo e não corta o eixo .

Próximo passo é encontrar os valores de com os quais o denominador é igual a zero, nesses lugares o gráfico tem uma assíntota vertical, ou seja, vai aumentando, sempre se aproximando desse valor, mas nunca toca nesse ponto:

Temos então que possui assíntota vertical em .

Próximo passo é analisar o sinal de , vamos analisar os lugares em que pode trocar de sinal, vamos ver os pontos de corte com o eixo e nas assíntotas verticais achando intervalos e analisando se é positivo ou negativo nesses intervalos:

Temos então que a função é positiva no intervalo e negativa no intervalo .

Agora vamos determinar o comportamento no infinito do gráfico calculando os limites de quando e quando , e se algum desses limites tiverem um valor finito , então a reta é uma assíntota horizontal:

Pronto, temos então que não possui assíntota horizontal.

Vamos analisar a função, como o numerador tem grau maior do que o denominador podemos analisar a função:

Agora vamos determinar o comportamento no infinito do gráfico, temos que a parcela tende a quando ou , assim:

Quando ou .

Geometricamente isso significa que o gráfico de vai ficando cada vez mais próximo da reta quando ou , e essa reta é denominada assíntota oblíqua ou inclinada de .

Vamos encontrar e :

Fazendo vamos ver se possui algum ponto crítico, onde a derivada é zero, ou onde ela não existe:

Agora vamos usar o Teste da Derivada Primeira:

Se em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de e em um intervalo aberto imediatamente à direita de , então tem um máximo relativo em .

Se em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de e em um intervalo aberto imediatamente à direita de , então tem um mínimo relativo em .

E se tiver o mesmo sinal tanto em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de quanto em um intervalo aberto imediatamente à direita de , então não tem extremo relativo em .

Vamos então analisar as derivadas no intervalo que contém e no intervalo que contém :

Pronto, temos então que e , então tem um máximo relativo em .

E por último vamos calcular :

Vamos então achar se possui algum ponto de inflexão e analisar os sinais:

Agora vamos analisar o sinal de ao redor de :

Como trocou de sinal em , temos um ponto de inflexão, onde a concavidade muda de côncava para baixo para côncava para cima.

Pronto, agora com todas essas informações fica mais simples de esboçar o gráfico, vamos lá: