Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 54
Encontre a coordenada do ponto na parábola:
De modo que o triângulo formado pela reta tangente em e os eixos coordenados tenha a menor área.
Passo 1
Então pessoal, inicialmente vamos chamar as coordenadas do ponto na curva de . Como temos a informação da curva que nos foi dada, então essas coordenadas pertencem à nossa curva, que é essa aqui:
Temos que o segmento da reta tangente em vale:
E a equação da reta é dada seguinte forma:
No qual é a reta tangente. Substituindo o que temos:
Show!
Passo 2
Para quando , temos que:
E para quando , temos que:
Dessa forma, temos um triângulo que possui a seguinte área:
No entanto, queremos a coordenada para quando a área é mínima, então teremos que utilizar os conceitos que conhecemos do cálculo!
Passo 3
Derivando nossa expressão, teremos:
Igualando a zero:
A única forma disso dar zero é se:
Então o que temos que fazer agora é calcular essa equação biquadrada! Chamando , teremos:
Utilizando Bhaskara:
Então:
Pois como estamos falando de Geometria, então raízes negativas não nos interessa! Sendo assim, podemos concluir que essa é a coordenada de do ponto na curva de modo que o triângulo formado pela reta tangente em e os eixos coordenados possui a menor área!
Resposta
Coordenada :