Encontre a coordenada x do ponto P na parábola:

y = 1 - x 2 0 < x ≤ 1

De modo que o triângulo formado pela reta tangente em P e os eixos coordenados tenha a menor área.

Passo 1

Então pessoal, inicialmente vamos chamar as coordenadas do ponto P na curva de P x 0 ,   y 0 . Como temos a informação da curva que nos foi dada, então essas coordenadas pertencem à nossa curva, que é essa aqui:

y 0 = 1 - x 0 2

Temos que o segmento da reta tangente em P vale:

y 0 ' = - 2 x 0

E a equação da reta é dada seguinte forma:

y - y 0 = m x - x 0

No qual m é a reta tangente. Substituindo o que temos:

y - 1 - x 0 2 = - 2 x 0 x - x 0

∴ y = - 2 x 0 x + x 0 2 + 1

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Passo 2

Para quando y = 0 , temos que:

- 2 x 0 x + x 0 2 + 1 = 0

x 0 - 2 x + x 0 = - 1

- 2 x + x 0 = - 1 x 0

∴ x = 1 2 x 0 + 1 x 0

E para quando x = 0 , temos que:

y = x 0 2 + 1

Dessa forma, temos um triângulo que possui a seguinte área:

A = 1 2 x . y

A = 1 2 . 1 2 x 0 + 1 x 0 . x 0 2 + 1

A = 1 4 x 0 3 + 2 x 0 + 1 x 0

No entanto, queremos a coordenada x para quando a área é mínima, então teremos que utilizar os conceitos que conhecemos do cálculo!

Passo 3

Derivando nossa expressão, teremos:

d A d x 0 = 1 4 3 x 0 2 + 2 - 1 x 0 2

d A d x 0 = 3 x 0 4 + 2 x 0 2 - 1 4 x 0 2

Igualando a zero:

3 x 0 4 + 2 x 0 2 - 1 4 x 0 2 = 0

A única forma disso dar zero é se:

3 x 0 4 + 2 x 0 2 - 1 = 0

Então o que temos que fazer agora é calcular essa equação biquadrada! Chamando x 0 2 = t , teremos:

3 t 2 + 2 t - 1 = 0

Utilizando Bhaskara:

t = - 2 ± 4 - 4 . 3 . - 1 2 . 3 = - 2 ± 16 2 . 3

t 1 = 1 3 ,   t 2 = - 1

Então:

x 0 2 = 1 3

x 0 = 1 3

Pois como estamos falando de Geometria, então raízes negativas não nos interessa! Sendo assim, podemos concluir que essa é a coordenada de x do ponto P na curva de modo que o triângulo formado pela reta tangente em P e os eixos coordenados possui a menor área!

Resposta

Coordenada x : x 0 = 1 3

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