Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.8 - Ex. 24
24. Use o método de Newton para encontrar todas as raízes da equação com precisão de oito casas decimais. Comece fazendo um gráfico para encontrar a aproximação inicial
Passo 1
Fala aí, eu sou o Rafha do Responde Aí e vou te ajudar em mais uma questão!
Aqui temos a seguinte equação:
E queremos encontrar a sua raiz, isso é, o valor de para o qual:
De forma que nossa função a qual queremos encontrar a raíz é portanto:
E queremos encontrar todas as suas raízes.
Para isso vamos usar um método iterativo que é o método de Newton.
Nessa questão, nós vamos começar fazendo um gráfico para a função e a partir dele nós teremos um chute inicial para a raiz
E para encontrar o próximo valor, faremos a seguinte iteração:
O enunciado pede para encontrarmos com uma precisão de seis casas decimais, dessa forma, teremos que ir realizando iterações até que o valor encontrado não se altere até a sexta casa decimal.Dá trabalho? Dá... mas a vida é um morango mesmo!
Passo 2
Nossa função é a seguinte:
Antes de começar vamos esboçar um gráfico. Para isso vou usar um software gráfico da minha preferência.
Percebemos portanto que temos raízes próximas dos valores:
Passo 3
Agora é só usar aquela formula da teoria:
Nossa função é
Derivando, usando a regra da potência de , teremos:
Arrumando as coisas, temos:
Vamos começar com :
Fazendo as contas:
Para achar os próximos o processo é análogo.
Logo, para :
Para :
Para :
Opa, como deu igual já podemos parar. Pois nos aproximamos o suficiente da raiz. Logo, a raiz aproximada de oito casas decimais será
Passo 4
Agora vamos fazer a mesma coisa para
Para :
Para :
Para :
Para :
Como , nossa raiz .
Por último :
Para :
Para :
Para :
Para :
Como , nossa raiz será .
Resposta
As raízes aproximadas de seis casas decimais são , e .