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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.9 - Ex. 16

Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)

r θ = sec ⁡ θ t g θ - 2 e θ .

Passo 1

E aí, pessoal? Bora pra mais uma questão?

O enunciado nos dá a função

r θ = sec ⁡ θ t g θ - 2 e θ ,

e pede para encontrarmos a primitiva mais geral de r .

Mas você lembra o que é ser uma primitiva de uma função 🤔?

Bem, uma primitiva da função f ( θ ) , em um determinado intervalo I , é uma função derivável F ( θ ) cuja derivada é igual a f ( θ ) . Isto é:

d d θ F θ = f θ                   p a r a   t o d o   θ ∈ I .

Se somarmos uma constante qualquer a função F ( θ ) , sua derivada ainda será igual a f θ (pois a derivada de uma constante é zero). Então, chamamos de primitiva mais geral de f ( θ ) , a função

F θ + C ,

onde C é uma constante qualquer.

Para resolvermos a questão, precisamos responder à seguinte pergunta: qual é a função R ( θ ) mais geral que se eu derivar vou obter R ' θ =   sec ⁡ θ t g θ - 2 e θ ?

Por conta da propriedade distributiva da derivada (Regra da Soma das derivadas), podemos encontrar a primitiva para cada um dos termos separadamente, e depois juntá-las.

Agora, vamos colocar a mão na massa 😊!

Passo 2

Observe que para f θ = sec ⁡ θ t g ( θ ) , temos uma primitiva F θ = s e c θ .

Isso é verdade pois:

F ' θ = d d θ s e c θ =   sec ⁡ θ t g θ ,  

ou seja,

F ' θ =   f ( θ ) .

Passo 3

Observe que para g θ = - 2 e θ , temos uma primitiva G θ = - 2 e θ , pois a derivada da função exponencial é a própria função exponencial.

Assim:

G ' θ = d d θ - 2 e θ =   - 2 e θ ,  

ou seja,

G ' θ = g ( θ ) .

Passo 4

Vamos juntar as primitivas obtidas para cada um dos termos da função r θ .

As funções

f θ = sec ⁡ θ t g θ

e

g θ = - 2 e θ

possuem uma primitiva dada, respectivamente, por:

F θ = s e c θ ,

G θ = - 2 e θ .

Como

r θ = f θ + g θ = sec ⁡ θ t g θ - 2 e θ ,

então, a primitiva mais geral de r θ é:

R θ = F θ + G θ + C ,

ou seja,

R θ = s e c θ - 2 e θ + C .

Passo 5

Vamos conferir se está tudo ok, beleza?

Derivando a primitiva encontrada, como o enunciado pediu, temos:

R ' θ = sec ⁡ θ t g θ - 2 e θ .

Então, temos R ' θ = r ( θ ) e tá tudo certinho.

Valeu, galera! Até a próxima! 😊

Resposta

A primitiva mais geral da função r ( θ ) é:

R θ = s e c θ - 2 e θ + C .

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l) int (s e n (3 x) + cos (5 x)) d x
i)int (e^x + e^(- x))/(2) d x
o)int cos (x)/(3)^() d x
j)int (1)/(e^(3 x)) d x
n)int s e n (x)/(2)^() d x