Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de , determinando o seguinte:

Os extremos relativos de ;

Os pontos de inflexão do gráfico de ;

Os intervalos em que é crescente

Os intervalos em que é decrescente;

Onde o gráfico é côncavo para cima;

Onde o gráfico é côncavo para baixo;

A inclinação de qualquer tangente de inflexão;

As assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, se existirem

Vamos para as verticais. Para isso, temos que procurar algum valor de que faça o limite ir para . Normalmente procuramos quando o denominador da fração for . Aqui, temos uma potencia racional, que é uma fração na potência. Nesses casos não teremos assíntotas verticais.

Vamos aos extremos e os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso temos que analisar o sinal de .

Derivando usando a regra do produto, vamos ter:

Como é sempre positivo, vamos ter:

A raiz do denominador é sempre positiva, então o sinal depende só de . Vamos olahr seu gráfico:

Entre as raízes vai ser positivo, e fora vai ser negativo. Mas o nosso

Lembrando que a função vai só de até , então o intervalo fica:

Lembrando que o domínio limita a função em

A função é crescente se e decrescente se , então:

Agora vamos ver os extremos. Pelo teste da primeira derivada, teremos máximo quando a função vai de crescente para decrescente, e mínimo quando a função for de decrescente para crescente.

Vamos agora para a concavidade e os pontos de inflexão. A função é côncava para cima se e côncava para baixo se .

O ponto vai ser de inflexão quando muda a concavidade.

Vamos pegar

Usando a regra do quociente:

Podemos não colocar o módulo ali no denominador, porque o domínio dizque é positivo

Colocando em evidência:

Como está entre e , e , vamos ter que é sempre negativo.

O nosso denominador vai ser sempre positivo.

O sinal da segunda derivada vai depender só de:

Então:

Esse ssinais vão trocar ao olhar a derivada, porque o é negativo:

LEbrmando que o nosso domínio para em

Então:

Assim, é ponto de inflexão:

Para terminar vamos ao esboço. Para isso, precisamos juntar todas as informações.

Não possui assíntota

ponto de inflexão

O gráfico vai ficar: