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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 28c

28. Uma massa de 0,25 kg cai, a partir do repouso, em um meio que oferece uma resistência de 0,2|υ|, em que υ está em m/s.(a) Se a massa cai de uma altura de 30 m, encontre sua velocidade ao atingir o solo.(b) Se a massa não pode atingir uma velocidade maior do que 10 m/s, encontre a altura máximada qual ela pode ser largada.(c) Suponha que a força de resistência é k|υ|, onde υ está em m/s e k é constante. Se a massa caide uma altura de 30 m e tem que atingir o solo com uma velocidade menor ou igual a 10 m/s,determine o coeficiente de resistência k necessário

Passo 1

Para resolver essa questão precisamos fazer uma análise das forças em questão

F r =   F g - F a

m a =   m g - k v

Podemos fazer um pequeno truque aqui

m d v d t =   m g - k v

d v d t =   g - k m v

Visto que essa questão quer a velocidade em função da distância, podemos fazer a seguinte manipulação

d v d t = v d v d x

E olha que ótimo temos em mãos uma equação separável, isso facilita muito nosso trabalho

v - g + k m v d v =   - 1 d x

Para resolver essa integração vamos precisar fazer uma substituição

∫ v - g + k m v d v = ∫ - 1 d x

u =   - g + k m v

v = u + g m k

d u = k m d v

Assim nossa integral fica da seguinte maneira

∫ v - g + k m v d v = m k 2 ∫ u + g u d u

= m k 2 ∫ 1 d u +   ∫ g u d u    

= m k 2 u + g ln ⁡ u  

Voltando de u → v   e continuando nossa solução

m k 2 - g + k m v + g ln ⁡ - g + k m v = - x + C

Passo 2

Vamos descobrir o valor de C , utilizando os dados de contorno

v 30 = 0

m k 2 - g + g ln ⁡ - g = 30 + C

c = 30 + g m k 2 - 1 + ln ⁡ - g

Com isso nossa função fica

m k 2 - g + k m v + g ln ⁡ - g + k m v = - x + 30 + g m k 2 - 1 + ln ⁡ - g

Passo 3

Agora se queremos saber o valor de k podemos usar mais dados de contorno como por exemplo v 0 = 10

m k 2 - g + k m v + g ln ⁡ - g + k m v = - x + 30 + g m k 2 - 1 + ln ⁡ - g

0,25 k 2 - 10 + k 0,25 10 + 10 ln ⁡ - 10 + k 0,25 10 = 30 + 10 0,25 k 2 - 1 + ln ⁡ - 10

Vamos precisar ser mais rigorosos com o logaritmo para que ele não fique com argumento negativo. Colocamos para consertar então modulo, para que peguemos a parte positiva. Okay podemos manipular um pouco essa equação e assim obter valores numéricos mais simples

0,25 2 - 10 + k 0,25 10 + 10 ln ⁡ - 10 + k 0,25 10 = 30 k 2 + 10 0,25 2 - 1 + ln ⁡ - 10

Essa solução não tem resposta analítica porem podemos fazer uma analise gráfica e descobrir k, onde plotamos um gráfico do lado esquerdo da igualdade e outra curva do lado direito.

Dessa forma podemos perceber que

k = 0

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

k = 0

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