Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 6-a
6. Suponha que um tanque contendo determinado líquido tem uma saída próxima do fundo. Seja h(t) a altura da superfície do líquido acima da saída no instante t. O princípio de Torricelli2 diz que a velocidade υ do fluxo na saída é igual à velocidade de uma partícula em queda livre (sematrito) caindo da altura h.
(a) Mostre que υ = em que g é a aceleração da gravidade.(b) Igualando a taxa de saída à taxa de variação de líquido no tanque, mostre que h(t) satisfaz a equação
em que A(h) é a área da seção reta do tanque na altura h, e a é a área da saída. A constante α é um coeficiente de contração responsável pelo fato observado de que a seção reta do fluxo(suave) de saída é menor do que a. O valor de α para a água é aproximadamente 0,6.
(c) Considere um tanque de água em forma de um cilindro circular reto 3 metros acima da saída. O raio do tanque é 1 m e o raio da saída circular é 0,1 m. Se o tanque estiver inicialmente cheio de água, determine quanto tempo vai levar para esvaziar o tanque até o nívelda saída.
Passo 1
Se temos que a nossa velocidade do fluido é de uma partícula em queda livre, logo podemos agora esquecer do fluido e pensar apenas na partícula. É estanho, eu sei, calcular uma partícula fictícia caindo, mas estamos modelando em algo fácil de resolver e neste momento o que importa é que a matemática das equações funciona ; )
Bem se estamos em queda livre e sem atrito podemos trabalhar com conservação da energia mecânica, assim teremos
Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução
: )
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)