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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 24

Use o resultado do Problema 22 para encontrar a solução do problema de valor inicial

L y = D ' –   a D ' –   b y   =   g t ,     y t 0 = 0 ,   y t 0 = 0 ,

em que a e b são números reais com a   ≠   b .

Passo 1

Primeiro, encontramos a solução da equação homogênea correspondente:

( D - a ) ( D - b )   y   =   0

( D 2 - ( a   +   b ) D + a b ) ) y = 0

y ' ' - ( a + b ) y ' + a b y = 0

A equação característica é:

r 2 - a + b r + a b = r - a r - b = 0

Com raízes:

r 1 = a ;     r 2 = b

Assim, a solução complementar é dada por:

y c t = c 1 e a t + c 2 e b t

Onde temos que y 1 ( t ) e y 2 ( t ) :

y 1 t = e a t ;     y 2 t = e b t

Passo 2

Com isso, conseguimos calcular o Wronskiano:

Temos y 1 ( t ) e y 2 t :

W y 1 , y 2 t = e a t b e b t - a e a t e b t = b - a e a + b t

De acordo com o problema 22, teremos:

Y t = ∫ t 0 t y 1 s y 2 t - y 1 t y 2 ( s ) W ( y 1 ,   y 2 ) ( s ) g s d s

= ∫ t 0 t y 1 s y 2 t - y 1 t y 2 ( s ) W ( y 1 ,   y 2 ) ( s ) g s d s

= ∫ t 0 t e a s e b t - e a t e b s b - a e a + b t g s d s

= b - a - 1 ∫ t 0 t e a s e b t - e a t e b s e a s e b s g s d s

= b - a - 1 ∫ t 0 t e b t e b s - e a t e a s g s d s

Y ( t ) = b - a - 1 ∫ t 0 t e b t - s - e a t - s g s d s

Resposta

Y ( t ) = b - a - 1 ∫ t 0 t e b t - s - e a t - s g s d s

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