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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 29a

29. Suponha que um foguete é lançado verticalmente a partir da superfície da Terra comvelocidade inicial υ 0   = 2 g R em que R é o raio da Terra. Não considere a resistência do ar.(a) Encontre uma expressão para a velocidade υ em função da distância x da superfície da Terra.(b) Encontre o tempo necessário para o foguete atingir 240.000 milhas (a distância aproximadada Terra à Lua). Suponha que R = 4000 milhas

Passo 1

Para resolver essa questão precisamos fazer uma análise das forças em questão

F r =   F g

m a =   m g

Podemos fazer um pequeno truque aqui

m d v d t =   m g

d v d t =   g

Visto que essa questão quer a velocidade em função da distância, podemos fazer a seguinte manipulação

d v d t = v d v d x

E olha que ótimo temos em mãos uma equação separável, isso facilita muito nosso trabalho

v g d v =   1 d x

Para resolver essa integração vamos precisar fazer uma substituição

∫ v g d v = ∫ 1 d x

v 2 2 g =   x

v 2 = 2 g ( x + C )

Passo 2

Agora temos que descobrir o valor de C e para isso vamos usar os dados de contorno

v 0 =   2 g R  

Então vamos usar esse valor na nossa equação

v 2 = 2 g x + C

2 g R = 2 g C

C = R

SHOW!!! Conseguimos resolver nossa equação

v 2 = 2 g x + R

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

v 2 = 2 g x + R

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