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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 31b

31. Um modelo mais realista (do que o no Problema 30) para a trajetória de uma bola de beisebolinclui o efeito da resistência do ar. Nesse caso, as equações de movimento são

d v d t =   - r v

d w d t =   - g - r w

em que r é o coeficiente de resistência.

(a) Determine υ(t) e w(t) em termos da velocidade escalar inicial u e do ângulo inicial deelevação A.(b) Encontre x(t) e y(t) se x(0) = 0 e y(0) = h.(c) Desenhe as trajetórias da bola para r = 1/5, u = 125, h = 3 e para diversos valores de A.Como essas trajetórias diferem das do Problema 31 com r = 0?(d) Supondo r = 1/5 e h = 3, encontre a velocidade inicial mínima u e o ângulo ótimocorrespondente A para o qual a bola passa por cima de um muro que está a uma distância de350 pés e tem 10 pés de altura. Compare esse resultado com o do Problema 30(f)

Passo 1

Agora que já temos as equações para as velocidades, queremos saber as equações de posição para a bola. Para isso vamos apenas precisar integrar mais uma vez as velocidades

v = e - r t + u cos ⁡ A

w = 1 r e - r t - g + u sen ⁡ A

Podemos fazer o seguinte truque

d x d t = e - r t + u cos ⁡ A

d y d t =   1 r e - r t - g + u sen ⁡ A

Passo 2

Agora só nos resta integrar em ambos os lados das duas equações, vamos aproveitar que essas equações são separáveis, o que facilita e muito nosso trabalho.

∫ d x = ∫ e - r t + u cos ⁡ A d t

x = - 1 r e - r t + u t cos ⁡ A + c

E vamos usar os dados de contorno para descobrir C

x 0 = 0

0 = - 1 r + c

c = 1 r

Logo nossa função final é

x = - 1 r e - r t + u t cos ⁡ A + 1 r

Passo 3

Vamos repetir o mesmo processo para descobrir y

∫ d y = ∫ 1 r e - r t - g + u sen ⁡ A d t

y =   - 1 r 2 e - r t - g t r + u t sen ⁡ A   + C

E vamos usar os dados de contorno para descobrir C

y 0 = h

h = - 1 r 2 + C

c = h + 1 r 2

Logo nossa função final é

y =   - 1 r 2 e - r t - g t r + u t sen ⁡ A   + h + 1 r 2

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

x = - 1 r e - r t + u t cos ⁡ A + 1 r

y =   - 1 r 2 e - r t - g t r + u t sen ⁡ A   + h + 1 r 2

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