Se y^3 + y = 2cosx, determine o valor de d^2y/dx^2 , no ponto (0,1) .

Passo 1

Precisaremos derivar a equação dada implicitamente duas vezes, implicitamente porque não é possível isolar y e duas vezes porque se pede d 2 y / d x 2 e depois substituir os valores de x = 0 e y = 1 .

Passo 2

Derivando implicitamente a equação temos:

3 y 2 d y d x + d y d x = - 2 s e n x

d y d x 3 y 2 + 1 = - 2 s e n x

Como 3 y 2 + 1 e d y d x se tratam de duas funções diferentes, quando derivarmos vamos precisar usar a regra do produto:

  d 2 y d x 2 3 y 2 + 1 + d y d x 6 y d y d x = - 2 c o s x

d 2 y d x 2 3 y 2 + 1 + 6 y d y d x 2 = - 2 c o s x

Passo 3

Como a expressão que nos dá d ² y d x ² está em função de d y d x precisamos achar primeiro d y d x usando a primeira expressão do passo anterior:

d y d x 3 . 1 2 + 1 = - 2 s e n 0

4 d y d x = 0

d y d x = 0

Substituindo 0,1 e d y d x na segunda expressão do passo anterior, temos:

4 d 2 y d x 2 = - 2

Resposta

d 2 y d x 2 = - 1 2

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