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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 91

Se y^3 + y = 2cosx, determine o valor de d^2 y // d x^2 , no ponto ( 0,1 ) .

Passo 1

Precisaremos derivar a equação dada implicitamente duas vezes, implicitamente porque não é possível isolar y e duas vezes porque se pede d^2 y // d x^2 e depois substituir os valores de x = 0 e y = 1 .

Passo 2

Derivando implicitamente a equação temos:

(3 y^2 d y)/(d x) + (d y)/(d x) = - 2 s e n x

(d y)/(d x) (3 y^2 + 1) = - 2 s e n x

Como 3 y^2 + 1 e (d y)/(d x) se tratam de duas funções diferentes, quando derivarmos vamos precisar usar a regra do produto:

(d^2 y)/(d x^2) (3 y^2 + 1) + (d y)/(d x) 6 y (d y)/(d x) = - 2 c o s x

(d^2 y)/(d x^2) (3 y^2 + 1) + 6 y ((d y)/(d x))^2 = - 2 c o s x

Passo 3

Como a expressão que nos dá (d ² y)/(d x ²) está em função de (d y)/(d x) precisamos achar primeiro (d y)/(d x) usando a primeira expressão do passo anterior:

(d y)/(d x) (3 . 1^2 + 1) = - 2 s e n 0

4 (d y)/(d x) = 0

(d y)/(d x) = 0

Substituindo (0,1) e (d y)/(d x) na segunda expressão do passo anterior, temos:

4 (d^2 y)/(d x^2) = - 2

Resposta

(d^2 y)/(d x^2) = - (1)/(2)

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