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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 34

Calcule as integrais.

Passo 1

Olhando para essa integral, meda vontade de usar substituição trigonométrica, mas ai pensando bem... como sou meio preguiçosa, pensando nas contas e pensando que você também não vai querer fazer muitas contas, vamos tentar outra alternativa.

Como estamos com uma divisão de polinômios, um constante por um de grau 3, nada mais justo que usar frações parciais, beleza?

Partxiu!

Primeiro, vamos decompor o polinômio denominador.

Ou seja,

x (9 - x^2) = x ( 3 - x ) ( 3 + x )

Então,

(1)/(x ( 9 - x^2 )) = (1)/(x ( 3 - x ) ( 3 + x )) = (A)/(x) + (B)/(3 - x) + (C)/(3 + x)

Passo 2

Calculando o mmc, ficamos com

(1)/(x ( 3 - x ) ( 3 + x )) = (A (3 - x) (3 + x) + B x (3 + x) + C x ( 3 - x ))/(x ( 3 - x ) ( 3 + x ))

Passo 3

Como os denominadores são iguais,

A (3 - x) (3 + x) + B x (3 + x) + C x (3 - x) = 1

A ( 9 - x^2 ) + B (3 x + x^2) + C ( 3 x - x^2 )

Juntando os coeficientes de mesmo grau,

x^2 (- A + B - C) + x (9 A + 3 B + 3 C) = 1

Passo 4

Igualando os coeficientes do polinômio, temos que

{[[- A + B - C = 0],[9 A + 3 B + 3 C = 0]])

Resolvendo o sistema, temos que

A = (1)/(9) , B = (1)/(18) e C = - (1)/(18)

Passo 5

Sendo assim,

int (d x)/(x ( 9 - x^2 )) = (1)/(9) int (d x)/(x) + (1)/(18) int (d x)/(3 - x) - (1)/(18) int (d x)/(3 + x)

Resolvendo as integrais (usando a tabela)

  • (1)/(9) int (d x)/(x) = (1)/(9) l n | x |

  • (1)/(18) int (d x)/(3 - x) = (1)/(18) l n | 3 - x |

  • - (1)/(18) int (d x)/(3 + x) = - (1)/(18) l n | 3 + x |

Passo 6

Substituindo,

int (d x)/(x ( 9 - x^2 )) = (1)/(9) int (d x)/(x) + (1)/(18) int (d x)/(3 - x) - (1)/(18) int (d x)/(3 + x) = (1)/(9) ln |x| + (1)/(18) ln |3 - x| - (1)/(18) ln |3 + x| + C

Resposta

int (d x)/(x ( 9 - x^2 )) = (1)/(9) ln |x| + (1)/(18) ln |3 - x| - (1)/(18) ln |3 + x| + C

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