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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 51

É 31 de julho e um tumor vem crescendo dentro o corpo de uma pessoa de tal forma que t dias desde 1° de julho o volume do tumor estará aumentando a uma taxa de 1 100 t + 6 1 / 2 cm³ por dia. Se o volume do tumor em 4 de julho era de 0,20 cm³, qual será o volume hoje?

Passo 1

Sabemos que se temos a taxa de crescimento (a derivada) f ' ( t ) de uma função f , podemos chegar às funções que possuem essa derivada aplicando o processo inverso da diferenciação, a integração. Se integrarmos então a função f ' t = 1 100 t + 6 1 / 2 , podemos chegar então a uma família de equações que contem a função f ( t ) .

Passo 2

Temos então:

f t = ∫ 1 100 t + 6 1 d t = 1 100 ⋅ t + 6 3 / 2 3 2 + C = 2 t + 6 3 / 2 300 + C = t + 6 3 / 2 150 + C

Mas a função ainda está incompleta, precisamos achar agora o valor de C .

Passo 3

Pelos dados do problema, sabemos que f 3 = 0,2   c m 3 , então:

3 + 6 3 / 2 150 + C = 0,2 ⇒ 9 3 150 + C = 0,2 ⇒ C = 0,2 - 27 150 = 0,2 - 0,18 = 0,02

Agora temos a equação completa:

f t = t + 6 3 / 2 150 + 0,02

Passo 4

Agora, precisamos calcular o valor da função para o dia de hoje. Considerando que a questão foi resolvida dia 21 de agosto, por exemplo, teriam se passado 51 dias desde o 1 de julho. Teríamos então:

f 51 = 51 + 6 3 / 2 150 + 0,02 = 57 3 / 2 150 + 0,02 ≈ 2,889   c m 3

Resposta

f t = t + 6 3 / 2 150 + 0,02

(Resposta depende do dia no qual foi resolvida a qustão).

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