Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.Exercícios práticos - Ex. 32
32. Bombeamento de um tanque cilíndrico Um tanque de armazenagem é um cilindro circular reto com 20 pés de comprimento e 8 pés de diâmetro, com eixo horizontal. Se o tanque está pela metade com azeite de oliva, que pesa 57 lb/pé3, determine o trabalho realizado para esvaziá-lo através de um cano que vai do fundo do tanque até uma saída 6 pés acima do topo.
Passo 1
O tanque é um cilindro deitado, podemos desenhar sua seção transversal dessa forma:
Imagine que esse reservatório é igual a uma soma de vários paralelepipedos com alturas infinitesimais, o volume do paralelepípedo é comprimento vezes a base vezes a altura, nesse caso a equação vai ficar:
Nós conhecemos a equação da circunferência, dessa forma temos a coordenada x e função de y:
O peso desse pedacinho de volume é igual ao voluma vezes a densidade da líquido, :
Passo 2
Para nós levarmos esse peso até a altura desejada vamos ter que fazer um poquinho de trabalho, podemos escrever assim:
A altura que cada pedaço de volume subiu vai ser igual a menos sua própria altura:
Então seu trabalho é igual a
Passo 3
Integrando essa equação, vamos descobrir o trabalho total necessário para bombear a água, os limites de integração vão de -4 até 0, que é onde tem o azeite:
Vamos usar a técnica de substituição na segunda raiz:
Os limites de integração ficam:
Para resolvermos essa primeira integral precisamos de uma técnica que vai ser aprendida no capitulo 8, mas podemos observar que é uma metade de circunferência, a metade onde é positivo. Como os limites de integração estão indo de até , ou seja, só na parte negativa de , dessa forma vamos ter somente um quarto da circunferência. E como a integral é numericamente igual a área sob a curva podemos simplesmente calcular a área de um quarto de circulo com raio 4: