A Lei de Newton da Gravitação Universal afirma que dois corpos com massas m 1 e m 2 atraem um ao outro com uma força de:

F = G m 1 m 2 r 2

Onde r é a distância entre os corpos e G é a constante gravitacional. Se um dos corpos é fixo, encontre o trabalho necessário para mover um corpo de r = a para r = b .

Passo 1

O trabalho feito no movimento de um objeto de a a b com função força F ( r ) é definido como:

W = ∫ a b F ( r ) d r

Sendo assim, iremos aplicar a fórmula.

W = ∫ a b F ( r ) d r = ∫ a b G m 1 m 2 r 2 d r = G m 1 m 2 ∫ a b r - 2 d r

Passo 2

Temos uma integral definida e sabemos que:

∫ a b f r d r = F b - F a

Em que F ' = f .

Dessa forma,

W = G m 1 m 2 ∫ a b r - 2 d r = G m 1 m 2 r - 2 + 1 - 2 + 1 a b = G m 1 m 2 - r - 1 a b

W = G m 1 m 2 - 1 b - - 1 a = G m 1 m 2 1 a - 1 b

Resposta

W = G m 1 m 2 1 a - 1 b

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