Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 34
34. Suponha que a soma das áreas das superfícies de uma esfera e de um cubo seja constante.
a) Mostre que a soma dos volumes é mínima quando o diâmetro da esfera for igual ao comprimento de uma aresta do cubo.
b) Quando a soma dos volumes será máxima?
Passo 1
a) Então pessoal, antes de resolvermos o problema temos que definir as variáveis do nosso problema, certo? Sendo assim, vamos chamar de o diâmetro da esfera e vamos chamar de o comprimento de apenas uma aresta do cubo, ok? A área da superfície de uma esfera é dada por:
Já a área de superfície de um cubo é dada por:
Então a soma dessas áreas será:
Além disso, queremos uma expressão para a soma dos volumes desses objetos também. O volume de um cubo é:
Já o volume de uma esfera é:
Mas como estamos falando de diâmetro:
Então a soma dos volumes será:
Show!
Passo 2
Vamos isolar na expressão de que escrevemos lá em cima, ok? Se fizermos isso teremos:
Se substituirmos em , teremos:
Note que agora temos uma função apenas de , o que facilita bastante nossa vida! O enunciado pede algo relacionado à volume mínimo, então devemos utilizar as noções de cálculo que aprendemos! Em outras palavras, vamos derivar nossa função e igualar a zero para encontrar os pontos críticos e, em seguida, os pontos de mínimo! Derivando:
Simplificando:
Ok, encontramos nossa derivada!
Passo 3
Da derivada que encontramos no passo anterior, se igualarmos a zero, teremos:
As únicas formas desse produto dar zero é se:
Desse segundo tiramos que:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Como não existe diâmetro negativo e nulo, então:
Ok, encontramos o diâmetro da esfera que faz com que a soma dos volumes seja mínima! Substituindo na expressão de , obteremos:
Que é exatamente igual a ! Sendo assim, fica provado que a soma dos volumes é mínima quando o diâmetro da esfera é igual ao comprimento de uma aresta de um cubo.
Passo 4
b) Então galera, de acordo com o que calculamos no passo anterior, a soma dos volumes será máxima quando ou a esfera ou o cubo não existirem.
Resposta
a)
b) Quando um dos dois não existirem.