Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.4 - Ex. 34

34. Suponha que a soma das áreas das superfícies de uma esfera e de um cubo seja constante.

a) Mostre que a soma dos volumes é mínima quando o diâmetro da esfera for igual ao comprimento de uma aresta do cubo.

b) Quando a soma dos volumes será máxima?

Passo 1

a) Então pessoal, antes de resolvermos o problema temos que definir as variáveis do nosso problema, certo? Sendo assim, vamos chamar de o diâmetro da esfera e vamos chamar de o comprimento de apenas uma aresta do cubo, ok? A área da superfície de uma esfera é dada por:

Já a área de superfície de um cubo é dada por:

Então a soma dessas áreas será:

Além disso, queremos uma expressão para a soma dos volumes desses objetos também. O volume de um cubo é:

Já o volume de uma esfera é:

Mas como estamos falando de diâmetro:

Então a soma dos volumes será:

Show!

Passo 2

Vamos isolar na expressão de que escrevemos lá em cima, ok? Se fizermos isso teremos:

Se substituirmos em , teremos:

Note que agora temos uma função apenas de , o que facilita bastante nossa vida! O enunciado pede algo relacionado à volume mínimo, então devemos utilizar as noções de cálculo que aprendemos! Em outras palavras, vamos derivar nossa função e igualar a zero para encontrar os pontos críticos e, em seguida, os pontos de mínimo! Derivando:

Simplificando:

Ok, encontramos nossa derivada!

Passo 3

Da derivada que encontramos no passo anterior, se igualarmos a zero, teremos:

As únicas formas desse produto dar zero é se:

Desse segundo tiramos que:

Elevando ambos os lados ao quadrado:

Como não existe diâmetro negativo e nulo, então:

Ok, encontramos o diâmetro da esfera que faz com que a soma dos volumes seja mínima! Substituindo na expressão de , obteremos:

Que é exatamente igual a ! Sendo assim, fica provado que a soma dos volumes é mínima quando o diâmetro da esfera é igual ao comprimento de uma aresta de um cubo.