43. Ao invés de seguir, no sentido inverso, as etapas usadas para obter a equação (8) a partir da equação (1), um método alternativo de obter (1) a partir de (8) é o seguinte:

|F(P)| + |F'(P)| = raiz((x - c)^2 + y^2) + raiz((x + c)^2 + y^2)

1/a * raiz(a^2 * (x - c)^2 + a^2 * y^2) + raiz(a^2 * (x + c)^2 + a^2 * y^2)

Substituindo a^2 * y^2 por a^2 * b^2 - b^2 * x^2 , e usando (7) obtemos

|F(P) - | + |F´(P) - | = a - (c/a)x + |a + (c/a)x|

Mostre que o segundo membro acima é 2a , usando o fato de que a > c > 0 e que para todo (x, y) satisfazendo (8), -a ≤ x ≤ a .

Passo 1

De primeira, parece um problema super difícil, mas para resolver este tipo de questão será utilizado o conceito de função modular e algumas informações contidas no enunciado.

Passo 2

Sabemos, do conceito de função modular, que:

a - c a x = a - c a x ,     a ≥ c x a - a - c a x ,     a < c x a

Utilizando a informação do enunciado de que - a ≤ x ≤ a , podemos substituir x = a , e reescrever a expressão como:

a - c a x = a - c ,     a ≥ c - a - c ,     a < c

Como do enunciado a > c > 0 temos que só a primeira expressão acima é valida.

Passo 3

Repetindo o mesmo passo para a segunda expressão, vem:

a + c a x = a + c a x ,     a ≥ - c x a - a + c a x ,     a < - c x a

Utilizando a informação do enunciado de que - a ≤ x ≤ a , podemos substituir x = - a , e reescrevendo a expressão como:

a + c a x = a + c ,     a ≥ c - a - c ,     a < c

Como do enunciado a > c > 0 temos que só a primeira expressão acima é valida.

Passo 4

Com isso, teremos que a soma dada será:

F P - + F ´ P - = a - c a x + a + c a x = a - c + a + c = 2 a

Resposta

Demonstração.

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