43. Ao invés de seguir, no sentido inverso, as etapas usadas para obter a equação (8) a partir da equação (1), um método alternativo de obter (1) a partir de (8) é o seguinte: F P - + F ´ P - = x - c 2 + y 2 + x + c 2 + y 2 = 1 a a 2 x - c 2 + a 2 y 2 + a 2 x + c 2 + a 2 y 2 Substituindo a 2 y 2 por a 2 b 2 - b 2 x 2 , e usando (7) obtemos F P - + F ´ P - = a - c a x + a + c a x Mostre que o segundo membro acima é 2 a , usando o fato de que ac0 e que para todo ( x , y ) satisfazendo (8), - a ≤ x ≤ a .

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.2 - Ex. 43

43. Ao invés de seguir, no sentido inverso, as etapas usadas para obter a equação (8) a partir da equação (1), um método alternativo de obter (1) a partir de (8) é o seguinte:

Substituindo por , e usando (7) obtemos

Mostre que o segundo membro acima é , usando o fato de que e que para todo satisfazendo (8), .

Passo 1

De primeira, parece um problema super difícil, mas para resolver este tipo de questão será utilizado o conceito de função modular e algumas informações contidas no enunciado.

Passo 2

Sabemos, do conceito de função modular, que:

Utilizando a informação do enunciado de que , podemos substituir , e reescrever a expressão como:

Como do enunciado temos que só a primeira expressão acima é valida.

Passo 3

Repetindo o mesmo passo para a segunda expressão, vem:

Utilizando a informação do enunciado de que , podemos substituir , e reescrevendo a expressão como:

Como do enunciado temos que só a primeira expressão acima é valida.

Passo 4

Com isso, teremos que a soma dada será:

Resposta

Demonstração.

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