Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 8.Elipse - Ex. 49a
49. Determinar uma equação das circunferências inscrita e circunscrita à elipse de equação dada.
a)
Passo 1
Então galera, inicialmente temos que lembrar que a equação da elipse pode aparecer em dois formatos, que são:
Ou:
A equação que nos foi dada é:
Então vamos simplifica-la para escrever no formato padrão, saca só:
Como , então teremos uma elipse com eixo maior em e com centro em , ok? Ademais, temos que:
Show!
Passo 2
Antes de determinarmos as equações das circunferências inscrita e circunscrita à elipse, devemos anotar aqui quem são os vértices da nossa elipse. Para o formato que encontramos, os vértices são dados da seguinte forma:
Para a circunferência inscrita: . Logo:
Para a circunferência circunscrita: . Logo:
Ademais, para encontrarmos a equação de uma circunferência precisamos determinar o raio da mesma, não é mesmo? O raio pode ser obtido a partir do cálculo da distância do vértice ao centro da elipse. Caso não se lembre, o cálculo é assim ó:
Então bora aplicar essa ideia na nossa questão!
Passo 3
Para a circunferência inscrita temos que a distância é: , que pode ser calculada da seguinte forma:
Agora utilizando a equação da circunferência, teremos:
Como a elipse está na origem, então:
E essa é a equação da circunferência inscrita!
Passo 4
Para a circunferência circunscrita temos que a distância é: , que pode ser calculada da seguinte forma:
Agora utilizando a equação da circunferência, teremos:
Como a elipse está na origem, então:
E essa é a equação da circunferência circunscrita!
Resposta
Circunferência inscrita:
Circunferência circunscrita: