49. Determinar uma equação das circunferências inscrita e circunscrita à elipse de equação dada.

a) 16 x 2 + y 2 - 16 = 0

Passo 1

Então galera, inicialmente temos que lembrar que a equação da elipse pode aparecer em dois formatos, que são:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Ou:

x 2 b 2 + y 2 a 2 = 1

A equação que nos foi dada é:

16 x 2 + y 2 - 16 = 0

Então vamos simplifica-la para escrever no formato padrão, saca só:

16 x 2 + y 2 = 16

16 x 2 16 + y 2 16 = 1

x 2 + y 2 16 = 1

Como b > a , então teremos uma elipse com eixo maior em y e com centro em 0 ,   0 , ok? Ademais, temos que:

a 2 = 1 ∴ a = 1

b 2 = 16 ∴ b = 4

Show!

Passo 2

Antes de determinarmos as equações das circunferências inscrita e circunscrita à elipse, devemos anotar aqui quem são os vértices da nossa elipse. Para o formato que encontramos, os vértices são dados da seguinte forma:

Para a circunferência inscrita: 0 ,   - a   e   0 ,   a . Logo:

A 1 0 ,   - 1   e   A 2 0 ,   1

Para a circunferência circunscrita: - b ,   0   e   b ,   0 . Logo:

B 1 - 4 ,   0   e   B 2 4 ,   0

Ademais, para encontrarmos a equação de uma circunferência precisamos determinar o raio da mesma, não é mesmo? O raio pode ser obtido a partir do cálculo da distância do vértice ao centro da elipse. Caso não se lembre, o cálculo é assim ó:

d V C = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2

Então bora aplicar essa ideia na nossa questão!

Passo 3

Para a circunferência inscrita temos que a distância é: d A 1 C , que pode ser calculada da seguinte forma:

d A 1 C = 0 - - 1 2 + 0 - 0 2

d A 1 C = 1

∴ r = 1

Agora utilizando a equação da circunferência, teremos:

x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2

Como a elipse está na origem, então:

x 2 + y 2 = r 2

∴ x 2 + y 2 = 1

E essa é a equação da circunferência inscrita!

Passo 4

Para a circunferência circunscrita temos que a distância é: d B 1 C , que pode ser calculada da seguinte forma:

d B 1 C = 0 - - 4 2 + 0 - 0 2

d B 1 C = 16

∴ r = 4

Agora utilizando a equação da circunferência, teremos:

x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2

Como a elipse está na origem, então:

x 2 + y 2 = r 2

∴ x 2 + y 2 = 16

E essa é a equação da circunferência circunscrita!

Resposta

Circunferência inscrita: x 2 + y 2 = 1

Circunferência circunscrita: x 2 + y 2 = 16

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