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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 105

Sejam T = h , k um ponto da elipse E : x 2 / p + y 2 / q = 1 e n → = q h , p k .

  1. Mostre que n → forma ângulos obtusos com T F → 1 e T F → 2 , ou seja, n → ⋅ T F → 1 < 0 e n → ⋅ T F → 2 < 0 .
  2. Mostre que, para todo λ > 0 , o ponto X = T + λ n → é exterior à elipse.
  3. Dê uma interpretação geométrica para os resultados dos itens (a) e (b).

Passo 1

Observação: vamos considerar que p > q > 0 .

Da teoria, sabemos que n → é um vetor normal à elipse no ponto T . Sejam F 1 = - c ,   0 e F 2 = c ,   0 os focos da elipse c > 0 .

  1. Inicialmente, vamos calcular T F → 1 e T F → 2 :

    2. T F → 1 = F 1 - T = - c ,   0 - h ,   k = - c - h ,   - k

    T F → 2 = F 2 - T = c ,   0 - h ,   k = c - h ,   - k

    Agora, vamos calcular os produtos escalares:

    T F → 1 ⋅ n → = - c - h ,   - k ⋅ q h ,   p k = - q h c + h + p k 2 = - q h c + q h 2 + p k 2

    Da equação da elipse, temos ao substituir as coordenadas de T :

    x 2 p + y 2 q = 1 ⟹ h 2 p + k 2 q = 1 ⟹ q h 2 + p k 2 = p q

    Substituindo tal resultado na equação acima, ficamos com

    T F → 1 ⋅ n → = - q h c + p q = - q h c + p

    Passo 2

    Note que vamos precisar mostrar que h c + p > 0 . Para tal, façamos o seguinte artifício;

    T F → 1 ⋅ n → = - q p h c p + 1

    onde colocamos o p em evidência. Agora, note o seguinte: Se h > 0 , então h c / p   é positivo, pois h , c e p são positivos. Logo, h c / p   + 1 será positivo; seja então h < 0 :

  • Da equação da elipse, devemos ter h 2 < p ∴ - h < p pois se isso não acontecer, o termo h 2 / p irá ficar maior do que 1 (o que tornaria a equação inconsistente);
  • Sabemos que c = p - q < p ∴ c < p .

Multiplicando as desigualdades acima obtidas, e lembrando que - h > 0 :

c ⋅ - h < p ⋅ p = p ∴ - h c < p ⟹ h c + p > 0

que é o que queríamos mostrar!!! Logo, temos que T F → 1 ⋅ n → < 0 .

Da mesma maneira, temos:

T F → 2 ⋅ n → = c - h , - k ⋅ q h ,   p k = c q h - q h 2 - p k 2 = c q h - p q = - q p - c h

Mas já vimos que h c + p > 0 para o caso em que h < 0 , que é a mesma coisa que a equação acima tomando h em módulo. Logo,

T F → 2 ⋅ n → < 0

Passo 2

  • Para mostrar que um ponto X = m , n é exterior à elipse, basta mostrar que:

    • f x , y = x 2 p + y 2 q ⟹ f m , n > 1 .

    Vamos demonstrar isso. Ora, do enunciado, temos que

    X = P + λ n → = h ,   k + λ q h ,   p k = h + λ q h ,   k + λ p k

    Assim, temos m = h + λ q h e n = k + λ p k . Logo,

    f m ,   n = m 2 p + n 2 q = h + λ q h 2 p + k + λ p k 2 q ⟹

    f m , n = h 2 + 2 h 2 λ q + λ 2 q 2 h 2 p + k 2 + 2 k 2 λ p + λ 2 p 2 k 2 q ⟹

    f m , n = h 2 p + k 2 q ⏟ = 1 ,   j á   q u e   h , k   p e r t e n c e à   e l i p s e + 2 h 2 λ q + λ 2 q 2 h 2 p + 2 k 2 λ p + λ 2 p 2 k 2 q ⟹

    f m , n = 1 + 2 h 2 λ q + λ 2 q 2 h 2 p + 2 k 2 λ p + λ 2 p 2 k 2 q .

    Agora, note que o termo entre colchetes é sempre positivo, já que p ,   q ,   h 2 ,   k 2 ,   λ são todos positivos (e não nulos). Logo, f m , n > 1 , que é o que queríamos mostrar.

    Passo 3

  • Em (a), temos que a reta que liga um ponto T da elipse a qualquer um dos focos forma ângulo obtuso com a reta normal que à elipse que passa por T .

    • Em (b), temos que qualquer ponto pertencente ao segmento que parte de T e possui direção e sentido de n → será exterior à elipse.

    Resposta

    Ei, a resposta está no passo a passo :)

    Ver Outros Exercícios desse livro

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