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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 75

Nos exercícios de 63 a 94, calcule a integral definida.

75. ∫ a a 2 a 2 - x 2 3 d x x 2

Passo 1

Neste tipo de questão não há muito o que tirar de informação do enunciado, apenas utilizar as técnicas de integração desenvolvidas até o momento, utilizar também algumas substituições especiais vistas ao longo desta seção bem como relações matemáticas básicas.

Passo 2

Utilizando o método de substituição trigonométrica temos que:

x = a . s e n   θ

d x = a . c o s θ d θ

Passo 3

Substituindo os valores acima na integral, vem que:

∫ a a 2 a 2 - x 2 3 d x x 2 = ∫ a 2 - a 2 s e n 2 θ 3 a 2 s e n 2 θ d θ = ∫ a 2 1 - s e n 2 θ 3 a 2 s e n 2 θ d θ

= ∫ a 2 cos 2 ⁡ θ 3 a 2 s e n 2 θ d θ = ∫ a 6 cos 6 ⁡ θ a 2 s e n 2 θ d θ = ∫ a 3 cos 3 ⁡ θ a 2 s e n 2 θ d θ

= ∫ acos 2 ⁡ θ c o s θ s e n 2 θ d θ = a ∫ 1 - se n 2 θ ⁡ c o s θ s e n 2 θ d θ

Aplicando integração por substituição simples em que u = s e n θ , vem:

a ∫ 1 - u 2 u 2 d u = a ∫ 1 u 2 - 1 d u = a - 1 u - u

Substituindo u = s e n x no resultado encontrado, teremos:

= a - 1 s e n θ - s e n θ = a ( - csc ⁡ θ - s e n   θ )

Passo 4

Voltando para variável x o resultado encontrado acima, teremos:

a ( - csc ⁡ θ - s e n   θ ) = a - a 2 - x 2 3 a - x a

Sendo assim, temos que:

∫ a a 2 a 2 - x 2 3 d x x 2 = a - a 2 - x 2 3 a - x a a a 2

= a - a 2 - a 2 2 3 a - a 2 a + a 2 - a 2 3 a + a a

= 3 3 8 a 3 + a 2

Resposta

∫ a a 2 a 2 - x 2 3 d x x 2 = 3 3 8 a 3 + a 2

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Use as entradas indicadas na Tabela de Integrais nas Paginas de Referencia para resolver a integral. ∫ arctan ⁡ x x d x
Use as entradas indicadas na Tabela de Integrais nas Paginas de Referencia para resolver a integral. ∫ coth ⁡ 1 y y 2 d y
Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ 1 x 2 x 2 - 9 d x ; x = 3 sec ⁡ θ
Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 x 2 + 9 d x ; x = 3 tg ⁡ θ
Calcule a integral usando a substituição trigonométrica indicada. Esboce e coloque legendas no triângulo retângulo associado. ∫ x 3 9 - x 2 d x ; x = 3 sin ⁡ θ