46. Resolva o Exercício 46, se os triângulos retângulos isósceles tiverem um dos catetos no plano da base.

Passo 1

A questão fala que a base da figura é um circulo e em cima da base tem vários triângulos isósceles,se liga na imagem:

Para montarmos a integral precisamos da área desse triangulo, a qual será dada por

A x = b a s e   x   a l t u r a 2    

A base será 2 y .

A altura será 2 y

Então,

A = 2 y 2

Passo 2

Iremos reescrever y em função de x, para isso usaremos Pitágoras:

y 2 + x 2 = r 2

y =   r 2 - x 2

Então, A ( x ) poderá ser reescrito como

A x = 2 ( r 2 - x 2 )

Passo 3

A integral ficará assim:

V = ∫ a b A ( x )   d x

V = 2 ∫ - r r r 2 - x 2   d x

V = 4 ∫ 0 r r 2 - x 2   d x

= 4 r 2 x - 4 x 3 3 | 0 r

= 4 r 2 r - 4 r 3 3 - 0

= 8 r 3 3

Resposta

= 4 r 3 3

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