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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.1 - Ex. 47

46. Resolva o Exercício 46, se os triângulos retângulos isósceles tiverem um dos catetos no plano da base.

Passo 1

A questão fala que a base da figura é um circulo e em cima da base tem vários triângulos isósceles,se liga na imagem:

Para montarmos a integral precisamos da área desse triangulo, a qual será dada por

A x = b a s e   x   a l t u r a 2    

A base será 2 y .

A altura será 2 y

Então,

A = 2 y 2

Passo 2

Iremos reescrever y em função de x, para isso usaremos Pitágoras:

y 2 + x 2 = r 2

y =   r 2 - x 2

Então, A ( x ) poderá ser reescrito como

A x = 2 ( r 2 - x 2 )

Passo 3

A integral ficará assim:

V = ∫ a b A ( x )   d x

V = 2 ∫ - r r r 2 - x 2   d x

V = 4 ∫ 0 r r 2 - x 2   d x

= 4 r 2 x - 4 x 3 3 | 0 r

= 4 r 2 r - 4 r 3 3 - 0

= 8 r 3 3

Resposta

= 4 r 3 3

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A região delimitada pelas curvas y = e - 1 x , y = 0 , x = 1 e x = 5 é girada em torno do eixo x . Use a Regra de Simpson com n = 8 para estimar o volume do sólido resultante.
Encontre o volume do sólido resultante se a região sob a curva y = 1 x 2 + 3 x + 2 de x = 0 até x = 1 for girada em torno do:a) eixo x ;
Encontre o volume do sólido resultante se a região sob a curva y = 1 x 2 + 3 x + 2 de x = 0 até x = 1 for girada em torno do:b) eixo y ;
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos y = e x ,y = 0 ,x = 0 ,x