Exercícios de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis - Lista de Exercícios Resolvida

Seja a região limitada pela curva e pelas retas e . Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno, do eixo

Determine o volume do sólido obtido pela rotação, em torno da reta , da região

Na figura abaixo, seja o ponto de interseção da curva e a reta , e seja o vértice da parábola . Suponha que a reta passa pelos pontos e .

Calcule o volume gerado pela rotação da região sombreada em torno do eixo-.

Determine o volume do sólido obtido pela revolução em torno do eixo-, da região limitada pelo gráfico de e no intervalo .

Seja a região limitada pelos eixos e pelo arco de parábola , para entre e .

Calcule o volume do sólido obtido girando a região acima em torno da reta

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo , pelo método que achar mais conveniente.

Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de

Em torno de .

Calcule o volume do sólido de revolução obtido a partir da rotação de

Em torno do eixo .

Utilize o método das seções transversais para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:

em torno do eixo .

Utilize o método das seções transversais para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:

em torno do eixo .

Utilize o método das seções transversais para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:

em torno do eixo .

Utilize o método das seções transversais para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:

em torno do eixo .

Seja a região delimitada pelas curvas ,

a) Esboce a região

b) Determine a área da região

c) Seja o sólido obtido pela rotação da região ao redor da reta . Expresse o volume por uma ou mais integrais.

d) Calcule o volume de

Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eixo , das regiões limitadas pelas retas e curvas:

f)

3 - Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo , da região limitada pelas curvas:

(a) , , .

3 - Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo , da região limitada pelas curvas:

(d) , , , .

Calcular o volume da região delimitada pelas equações , , em torno da reta . Considere = raio interno e =raio externo.

No cálculo do volume foi obtido um e e um volume superior a

No cálculo do volume foi obtido um e e um volume superior a

No cálculo do volume foi obtido um e e um volume inferior a

No cálculo do volume foi obtido um e e um volume inferior a

2 – Seja a região do plano limitada pelas curvas e . Seja o sólido de revolução obtido após girar em torno do eixo . Calcule o volume de .

Considere a seguinte região do plano: . O volume do sólido obtido pela rotação de A em torno da reta horizontal é igual a:

Seja a região limitada pelos eixos e pelo arco de parábola , para entre e .

b) Calcule o volume do sólido obtido girando a região acima em torno da reta

Seja a região limitada pelos eixos e pelo arco de parábola , para entre e .

c) Calcule o volume do sólido obtido girando a região acima em torno da reta

Determine o volume do sólido obtido com a rotação de cada região em torno do eixo :

A região do primeiro quadrante limitada superiormente pela parábola , inferiormente pelo eixo e à direita pela reta .

Calcule o volume do sólido obtido com a rotação da região triangular limitada pelas retas , e , em torno:

d) da reta , usando o método do anel.

3 - Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo , da região limitada pelas curvas:

(c) , .

Um objeto é esculpido a partir de um tronco cilíndrico de madeira maciça com diâmetro de metros e comprimento de metros. O objeto tem a forma do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo , da região limitada pela curva , , e pelo eixo . Calcule o volume de madeira desperdiçado.

Considere a região do plano delimitada pela curva de equação e pela reta (eixo ).

1. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de em torno da reta (eixo );
2. Escreva uma integral que corresponda ao volume do sólido gerado pela rotação de em torno da reta . Não precisa calcular a integral.

Considere a região limitada pelas curvas

Determine o volume do sólido obtido pela rotação de em torno do eixo .

Calcular o volume da região delimitada pelas equações , , em torno da reta . Considere = raio interno e =raio externo.

No cálculo do volume foi obtido um e e um volume superior a

No cálculo do volume foi obtido um e e um volume superior a

No cálculo do volume foi obtido um e e um volume inferior a

No cálculo do volume foi obtido um e e um volume inferior a

Dada a figura abaixo ache o volume do sólido gerado rotacionando a região indicada em torno da reta especificada:

1. ao longo de BC

Dada a figura abaixo ache o volume do sólido gerado rotacionando a região indicada em torno da reta especificada:

1. ao longo de OA

1 - Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região sombreada em torno do eixo :

Em cada um dos exercícios a considere a região limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule, por dois métodos distintos, o volume do sólido obtido pela rotação da em torno do eixo dado.

Em cada um dos exercícios a considere a região limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule, por dois métodos distintos, o volume do sólido obtido pela rotação da em torno do eixo dado.

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo , pelo método que achar mais conveniente.

Considere a região delimitada pelas retas , , e .

1. Esboce a região .
2. Escreva uma integral, ou uma soma de integras, que represente(m) o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região ao redor da reta .
3. Calcule o volume.

Sejam e funções dadas por

𝑒 considere a região plana descrita abaixo:

Seja o sólido gerado pela rotação da região em torno do eixo

a) Esboce a região plana

b) Escreva o volume de utilizando o Método de Discos ou método de cascas ciníndricas.

Obs: Neste item não é necessário calcular o volume.

Seja a região do plano limitada superiormente pelo gráfico de e inferiormente pelo eixo , com .

Determine o volume do sólido obtido pela revolução da região em torno do eixo .

Seja a região delimitada pelas curvas e e as retas e . O volume do sólido obtido pela rotação de em torno do eixo é:

Seja a região delimitada pelas curvas e e as retas e . O volume do sólido obtido pela rotação de em torno do eixo é:

Considere a região limitada pelas curvas e no intervalo .

1. Esboce a região
2. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de em torno do eixo .

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo , da região delimitada pelos gráficos das funções:

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo , da região delimitada pelos gráficos das funções:

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo , da região delimitada pelos gráficos das funções:

Encontre a região do sólido quando a região limitada por , , e é girado em torno do eixo.

Um tronco de pirâmide com base quadrada de lado , topo quadrado de lado e altura . O que acontece se O que acontece se

Seja a região limitada pelas curvas e .

1. Esboce a região .
2. Encontre o volume do sólido de revolução gerado quando é girado ao redor da reta .

Faça um esboço da região do plano limitada pelas curvas e e pelas retas e . Expresse as grandezas abaixo utilizando integrais. Não é preciso calcular as integrais.

1. A área de ;
2. O volume do sólido de revolução obtido pela rotação de em torno do eixo .

Calcule o volume da esfera de raio usando dos métodos que vimos na aula

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo da região delimitada pela curva e a reta .

3) Considere a região do plano delimitada superiormente por e inferiormente pelo segmento de reta conectando os pontos do plano e . O volume do sólido obtido girando a região em torno do eixo é:

Com base na figura abaixo, determine a área da região ; e determine o volume do sólido gerado pela revolução de em torno do eixo .

Com base na figura abaixo, determine a área da região , delimitada por , e ; e determine o volume do sólido gerado pela revolução de em torno do eixo .

Questão 3:

Considere a região plana definida por:

Seja o sólido de revolução obtido pela rotação de em torno do eixo .

1. Esboce abaixo a região plana .
2. Utilizando o método que preferir, escreva o volume de como uma integral ou como uma soma de integrais.

Obs.: Neste item não é necessário calcular o volume.

3. Calcule o volume de .

Questão 3: Seja

1. Esboce a região do plano compreendida pelo gráfico de e o .
2. Encontre o volume do sólido obtido pela revolução de em torno do eixo .

(Use uma integral imprópria adequada!)

Questão 5) Considere a região limitada pelas curvas e no intervalo . Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de em torno do eixo .

Determine o volume do sólido limitado por e pelos planos

Considere a função onde . Seja o sólido obtido pela rotação do gráfico de em torno do eixo . O volume de é:

5) Calcule o volume do sólido de revolução obtido ao rotacionar em torno do eixo a região delimitada pela curva e a reta

1) Seja a região plana dada pelo esboço abaixo:

Onde e são funções tais que:

• O gráfico de é uma reta que passa pelos pontos e .
• , onde são constantes reais

Responda:

1. Determine a expressão de e
2. Seja o sólido de revolução obtido pela rotação da região em torno do eixo . Utilizando o método que preferir, escreva o volume de como uma integral ou uma soma de integrais.
3. Calcule o volume de pelo método que preferir.

Q01III) Responda às perguntas abaixo no espaço adequado no seu caderno de respostas. As soluções devem ser sucintas e a resposta final deve estar destacada do restante da solução.

1. Seja a região do plano limitada pela parábola e pelo gráfico de . Escreva (mas não calcule!) a integral que representa o volume do sólido obtido rotacionando-se ao redor do eixo .

Q01V) Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região entre as curvas , , e em torno da reta .

Determine o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo , da região , situada no primeiro quadrante, limitada pelas retas e e pelas curvas e .

Considere a região limitada pelas curvas de equações dadas. Aplicando o método dos discos circulares, calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo dado:

Em cada um dos exercícios a considere a região limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule, por dois métodos distintos, o volume do sólido obtido pela rotação da em torno do eixo dado.

Seja uma função contínua. Sabendo-se que o volume do sólido obtido girando o gráfico de em torno do eixo entre e é para todo , encontre a expressão de quando .

4. Seja a região do plano delimitada pelas curvas , e . Determine o volume do sólido de revolução obtido da rotação de em torno da reta .

3. Sera a região limitada pela curva e pelas retas , e . Faça um esboço de e calcule o volume gerado pela rotação de em torno do eixo .

O volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo , da região

, indicado na figura abaixo é:

Determine o volume do sólido S obtido pela rotação em torno do eixo da região delimitada pelas retas ; ; e pelos gráficos das funções e .

2 - Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região sombreada em torno do eixo :

Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo , da região limitada pelas curvas:

Calcule o volume do sólido produzido pela rotação de

ao redor do eixo .

A região sob o gráfico de no intervalo é girado em torno do eixo. Encontre o volume do sólido gerado.

Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eixo , das regiões limitadas pelas retas e curvas:

d)

1. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares tais que e .
2. Esboce no mesmo plano os gráficos das polares e , calculando a área da interseção entre elas.

Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eixo , das regiões limitadas pelas retas e curvas:

c)

Dada a figura abaixo ache o volume do sólido gerado rotacionando a região indicada em torno da reta especificada:

1. ao longo de OC

A região sob o gráfico de no intervalo é girado em torno do eixo . Encontre o volume do sólido gerado.

Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eixo , das regiões limitadas pelas retas e curvas:

e)

Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo , da região limitada pelas curvas:

A região do primeiro quadrante delimitada pelos eixos de coordenadas, pela reta e pela curva

Dada a figura abaixo ache o volume do sólido gerado rotacionando a região indicada em torno da reta especificada:

1. ao longo de AO.

Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo , da região limitada pelas curvas:

Divida uma pizza circular de de diâmetro através de cortes paralelos de maneira que cada uma das três partes tenha a mesma área

Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo , da região limitada pelas curvas:

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno de

Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo , da região limitada pelas curvas:

Calcule o volume do sólido obtido com a rotação da região triangular limitada pelas retas , e , em torno:

do eixo , usando o método do anel.

Determine o volume do sólido obtido com a rotação de cada região em torno do eixo :

A região do primeiro quadrante limitada à esquerda pelo círculo , à direita pela reta e superiormente pela reta .

Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região, no segundo quadrante, limitada pela curva , inferiormente pelo eixo e à esquerda pela reta , em torno da reta .

Calcule o volume do sólido obtido com a rotação da região triangular limitada pelas retas , e , em torno:

da reta , usando o método do anel.

Seja R a região limitada pelas curvas e . Seja S o sólido obtido pela rotação da região R em torno de cujo volume é igual a V. O valor de é quanto?

Seja o sólido comum a duas esferas, cada qual com raio , cujos centros distam entre si. O volume de é

a)

b)

c)

d)

e)

a) Considere os parboloides

e

Determine a equação da projeção no plano da curva interseção dos paraboloides. Esboce também esta projeção.

b) Calcule o volume da região espacial

c) Encontre a posição do centroide da região indicada no item 1b.