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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.8 - Ex. 52

52. Para o circuito elétrico do Exercício 51, ache a raiz quadrada do valor médio de E 2 de t = 0 a t = π 3 . (Sugestão: use a identidade s e n 2 x = ( 1 - c o s ⁡ ( 2 x ) 2 )

Passo 1

Vamos aplicar o teorema do valor médio para E 2 , fazer as continhas nesse intervalo e aí matamos a questão tirando a raiz quadrada no fim, ok?

Passo 2

Lembra do teorema do valor médio, ele diz o seguinte:

Se a função f for contínua no intervalo fechado [a,b], existe um número x nesse intervalo tal que:

∫ a b f ( x ) = f ( x ) ( b - a )

Agora, nós temos f ( x ) , que é o E , e ( b - a ) . Ao isolarmos o f ( x ) fica assim

f x = 1 ( b - a ) ∫ a b f ( x )

Assim vamos calcular o valor médio (VM) de f ( x ) , no caso será f t

Passo 3

Calcular a integral de f t 2 = E 2 , a e b nós já temos, ou seja...

V M = 1 ( π 3 - 0 ) ∫ 0 π 3 4 s e n 2 3 t   d t

Malandramente vamos chamar u = 3 t para fazer uma substituição

d u = 3 d t

3 . 4 π ∫ s e n 2 u   d u 3

Resolver essa integral ainda não está tão fácil né

Passo 4

Vamos usar a sugestão ( s e n 2 x = ( 1 - c o s ⁡ ( 2 x ) 2 ) e substuir esse s e n 2 u :

3 . 4 π ∫ ( 1 - c o s ⁡ ( 2 u ) 2   d u 3 = 4 π ∫ ( 1 - c o s ⁡ ( 2 u ) 2 d u

2 π ∫ 1 - c o s ⁡ ( 2 u ) d u

2 π u - ( s e n 2 u 2 )

Passo 5

Voltamos para t e finalizamos as contas...

V M = 2 π 3 t - ( s e n 2 . 3 t 2 ) 0 π 3

V M = 2 π 3 ( π 3 - 0 ) - ( s e n 6 . π 3 - s e n 6.0 2 )

V M = 2 π   π = 2

Acabou? Não!! A questão pede a raiz do valor médio de E 2

Então...

V M = 2

Agora sim! Pronto

Resposta

V M = 2

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