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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.Revisão - Ex. 22

Encontre o centroide da região.

A metade superior da elipse x a 2 +   y b 2 = 1 .

Passo 1

Para calcularmos, começamos subtraindo ambos os lados por 1 :

x a 2 +   y b 2 - 1 = 1 - 1

Colocando em evidencia o x 2 :

1 a 2 + 1 b 2 x 2 - 1 = 0

Podemos resolver pela formula geral da equação quadrática, a x 2 + b x + c = 0 , portanto a = 1 a 2 + 1 b 2 , b = 0 e c = - 1 . As raízes são dadas por:

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Portanto,

x 1 = - 0 + 0 2 - 4 × 1 a 2 + 1 b 2 × ( - 1 ) 2 × 1 a 2 + 1 b 2 = a b a 2 + b 2 b 2 + a 2

x 2 = - 0 - 0 2 - 4 × 1 a 2 + 1 b 2 × ( - 1 ) 2 × 1 a 2 + 1 b 2 = - a b a 2 + b 2 b 2 + a 2

Prontinho!!

Resposta

x 1 = a b a 2 + b 2 b 2 + a 2

x 2 = - a b a 2 + b 2 b 2 + a 2

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