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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.9 - Ex. 60

57-60 Um medicamento pode ser ministrado a um paciente de várias maneiras. Dado um método particular, seja c ( t ) a concentração (medida em mg/L) de medicamento na corrente sanguínea de um paciente t horas depois de aplicada a dose. No intervalo 0 ≤ t ≤ b , a área entre o gráfico de c = c ( t ) e o intervalo [ 0 , b ] indica a “ disponibilidade” do medicamento para o corpo do paciente naquele período de tempo. Em cada exercício, determine qual método oferece maior disponibilidade no intervalo de tempo dado.

57- Método 1: c t = 5,78   e - 0,4 t - e - 1,3 t ,

Método 2: c t = 4,15   ( e - 0,4 t - e - 3 t ) ; [0,24]

Passo 1

Gente, quando a questão fala de área uma coisa tem que vir direto na sua cabeça: INTEGRAL.

Nesse exercício, nós vamos fazer a integral para a duas função, variando de 0 a 4.

Assim,

-Método 1:

∫ 0 24 5,78   e - 0,4 t - e - 1,3 t   d t

5,78 ∫ 0 24 e - 0,4 t d t - 5,78 ∫ 0 24 e - 1,3 t d t

Resolvendo a primeira integral, nós temos:

u = - 0,4   t

d u = - 0,4   d t

d t = - d u 0,4

Substituindo:

- 5,78 0,4 ∫ 0 24 e u d u = - 14,45   e - 0,4 t   0 24  

Já a segunda integral:

u = - 1,3   t

d u = - 1,3   d t

d t = - d u 1,3

- 5,78 - 1,3 ∫ 0 24 e - 1,3 t d t = 4,47 e - 1,3 t 0 24

Logo,

∫ 0 24 5,78   e - 0,4 t - e - 1,3 t   d t

= - 14,45 e - 0,4 t 0 24 + 4,47 e - 1,3 t 0 24

Assim,

- 14,45   e - 0,4 t   0 24 + 4,47 e - 1,3 t 0 24 = - 9,78 × 10 - 4 + 14,45 + 1,26 × 10 - 13 - 4,47 = 9,98

Passo 2

-Método 1:

∫ 0 24 4,15   ( e - 0,4 t - e - 3 t )     d t

4,15 ∫ 0 24 e - 0,4 t d t - 4,15 ∫ 0 24 e - 3 t d t

Resolvendo a primeira integral, nós temos:

u = - 0,4   t

d u = - 0,4   d t

d t = - d u 0,4

Substituindo:

- 4,15 0,4 ∫ 0 24 e u d u = - 10,375   e - 0,4 t   0 24  

Já a segunda integral:

u = - 3   t

d u = - 3   d t

d t = - d u 3

4,15 3 ∫ 0 24 e u d u = 1,38   e - 3 t 0 24

Logo,

∫ 0 24 4,15   e - 0,4 t - e - 3 t   d t = - 10,375   e - 0,4 t   0 24 + 1,38   e - 3 t 0 24

Assim,

- 10,375   e - 0,4 t   0 24 + 1,38   e - 3 t 0 24 = - 7,026 × 10 - 4 + 10,375 + 7,42 × 10 - 32 - 1,38 = 9

Como nós encontramos uma área maior para o método 1, esse é o que o oferece maior disponibilidade do medicamento.

Resposta

Método 1.

Ver Outros Exercícios desse livro

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1-4. Expresse a integral em termos da variável u , mas não a calcule.1. b) ∫ 0 4 3 x 25 - x 2 d x ; u = 25 - x 2
1-4. Expresse a integral em termos da variável u , mas não a calcule.1. d) ∫ 0 1 x + 2 x + 1 5 d x ; u = x + 1
5-18. Calcule a integral definida de duas formas: primeiro com uma substituição u na integral definida e, depois, com uma substituição u na integral indefinida.6. ∫ 1 2 4 x - 2 3 d x
5-18. Calcule a integral definida de duas formas: primeiro com uma substituição u na integral definida e, depois, com uma substituição u na integral indefinida.14. ∫ 1 - π 1 + π s e c 2 1 4 x - 1 4 d
1-4. Expresse a integral em termos da variável u , mas não a calcule.4. b) ∫ 1 e d x x 1 - ln ⁡ x 2 ; u = ln ⁡ x