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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 30

1-38 Calcule a integral.

30. int_(sqrt(e))^e (ln x)/(x^2) d x

Passo 1

Galeraaaa,a gente vai resolver usando o método de integração por partes. Então, primeiro vamos ver quem vai ser o nosso u e o nosso d v . Que tal usarmos aquele macete, hein?! O famoso L I A T E .

Se você não sabe, é um macete que eu super recomendo você gravar. É muiiiito fácil e ajuda bastante.

l -> f u n ç õ e s l o g a r í t m i c a s

i -> i n v e r s a s t r i g o n o m é t r i c a s

a -> f u n ç õ e s a l g é b r i c a s

t -> f u n ç õ e s t r i g o n o m é t r i c a s

e -> f u n ç õ e s e x p o n e n c i a i s

Para escolher o nosso u , é só seguir essa ordem de preferência que começa de cima para baixo.

Então, sejam u = ln x e (1)/(x^2) = d v .

{[[u = ln x -> d u = (d x)/(x)],[x^(- 2) = d v -> v = - (1)/(x)]])

Passo 2

Assim, vamos ter que

int_(sqrt(e))^e (ln x)/(x^2) d x = ((- ln x)/(x)|_sqrt(e)^e - int_(sqrt(e))^e - (1)/(x^2) d x

Agora ficou fácil né?!

Resolvendo a integral do lado direito, obtemos

int_(sqrt(e))^e - (1)/(x^2) d x = - int_(sqrt(e))^e (1)/(x^2) d x = ((1)/(x)|^e_sqrt(e) = (1)/(e) - (1)/(sqrt(e ))

Por último, é só a gente calcular isso aqui

((- ln x)/(x)|_sqrt(e)^e

Molezaaa!!!

((- ln x)/(x)|_sqrt(e)^e = - (1)/(e) + (1)/(2 sqrt(e))

Somando as respostas, vemos que

Ops.... não se esqueça do menos antes da nossa integral!!!

int_(sqrt(e))^e (ln x)/(x^2) d x = - (1)/(e) + (1)/(2 sqrt(e)) - (1)/(e) + (1)/(sqrt(e )) = - (2)/(e) + (3)/(2 sqrt(e ))

Resposta

- (2)/(e) + (3)/(2 sqrt(e ))

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