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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.9 - Ex. 1d

1-4. Expresse a integral em termos da variável u , mas não a calcule.

1. d) ∫ 0 1 x + 2 x + 1 5 d x ; u = x + 1

Passo 1

Então pessoal, para esse tipo de questão o intuito é só pegar a ideia de como resolver uma integral por substituição, tanto que não devemos calcular de fato a integral, apenas deixa-la nos moldes corretos! Vale ressaltar aqui que como queremos expressar a integral em termos da variável u , então também devemos alterar os intervalos de integração, ok? Então bora lá!

Nossa integral é:

∫ 0 1 x + 2 x + 1 5 d x

E nossa substituição é:

u = x + 1

Ademais, também temos que:

u + 1 = x + 2

Derivando para descobrirmos d u em função de d x :

d u = d x

Substituindo os valores encontrados na nossa integral, teremos:

∫ 0 1 x + 2 x + 1 5 d x = ∫ 0 1 u + 1 u 5 d u

Ok, primeira parte finalizada!

Passo 2

Por fim, o que devemos fazer agora é alterar os intervalos de integração, uma vez que não estamos mais integrando em relação a x , e sim em relação a u ! Os intervalos são: x = 0 e x = 1 , certo? Utilizando a substituição indicada, teremos:

u 0 = 0 + 1 = 1

u 1 = 1 + 1 = 2

Logo, nossa integral será:

∫ 0 1 x + 2 x + 1 5 d x = ∫ 1 2 u + 1 u 5 d u

E está aí nosso lindo resultado, galera!

Resposta

∫ 0 1 x + 2 x + 1 5 d x = ∫ 1 2 u + 1 u 5 d u

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Calcule as integrais usando a substituição indicada. a ∫ cot ⁡ x csc 2 ⁡ x d x ; u = cot ⁡ x b ∫ 1 + sin ⁡ t 9 cos ⁡ td t ; u = 1 + sin ⁡ t
Calcule as integrais usando uma substituição apropriada. ∫ cos ⁡ x 3d x
Calcule as integrais usando uma substituição apropriada. ∫ sin ⁡ 7 xd x
Calcule as integrais usando a substituição indicada. a ∫ sec 2 ⁡ 4 x + 1d x ; u = 4 x + 1 b ∫ y 1 + 2 y 2d y ; u = 1 + 2 y 2
Calcule as integrais usando a substituição indicada. a ∫ x 2 1 + x 6d x ; u = x 3 b ∫ 1 x 1 - ln ⁡ x 2d x ; u = ln ⁡ x