1-4. Expresse a integral em termos da variável u , mas não a calcule.

1. b) ∫ 0 4 3 x 25 - x 2 d x ; u = 25 - x 2

Passo 1

Então pessoal, para esse tipo de questão o intuito é só pegar a ideia de como resolver uma integral por substituição, tanto que não devemos calcular de fato a integral, apenas deixa-la nos moldes corretos! Vale ressaltar aqui que como queremos expressar a integral em termos da variável u , então também devemos alterar os intervalos de integração, ok? Então bora lá!

Nossa integral é:

∫ 0 4 3 x 25 - x 2 d x

E nossa substituição é:

u = 25 - x 2

Derivando para descobrirmos d u em função de d x :

d u = - 2 x d x

∴ - d u 2 = x d x

Substituindo os valores encontrados na nossa integral, teremos:

∫ 0 4 3 x 25 - x 2 d x = - 3 2 ∫ 0 4 u d u

Ok, primeira parte finalizada!

Passo 2

Por fim, o que devemos fazer agora é alterar os intervalos de integração, uma vez que não estamos mais integrando em relação a x , e sim em relação a u ! Os intervalos são: x = 0 e x = 4 , certo? Utilizando a substituição indicada, teremos:

u 0 = 25 - 0 2 = 25

u 4 = 25 - 4 2 = 9

Logo, nossa integral será:

∫ 0 4 3 x 25 - x 2 d x = - 3 2 ∫ 9 25 u d u

E está aí nosso lindo resultado, galera!

Resposta

∫ 0 4 3 x 25 - x 2 d x = - 3 2 ∫ 9 25 u d u

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