5-8. Calcule os oito primeiros termos da sequência de somas parciais corretas para quatro casas decimais. Parece que a série é convergente ou divergente?

7. ∑ n = 1 ∞ 1 1 + n

Passo 1

Então galera, essa questão quer que testemos nosso conceito sobre séries. Como assim? Uma série é dita divergente ou convergente se, somente se, a sequência de somas parciais também for divergente ou convergente, respectivamente. A sequência que nos foi dada é essa aqui ó:

s n = 1 1 + n

Agora vamos ter que calcular os oito primeiros termos da sequência de somas parciais.

Para n = 1 :

s 1 = a 1

Para n = 2 , teríamos:

s 2 = s 1 + a 2

Repara que é sempre a soma com o termo anterior, seguindo teríamos:

s 3 = s 2 + a 3

s 8 = s 7 + a 8

Passo 2

Calculando os termos da sequência, teremos:

s 1 = 1 1 + 1 = 0,5

s 2 = 0,5 + 1 1 + 2 = 0,9142

s 3 = 0,9142 + 1 1 + 3 = 1,2802

s 4 = 1,2802 + 1 1 + 4 = 1,6135

s 5 = 1,6135 + 1 1 + 5 = 1,9225

s 6 = 1,9225 + 1 1 + 6 = 2,2124

s 7 = 2,2124 + 1 1 + 7 = 2,4867

s 8 = 2,4867 + 1 1 + 8 = 2,7479

Podemos notar que a sequência não está tendendo para um valor específico, não é mesmo? A cada termo que calculamos o valor da sequência muda. Sendo assim, a conclusão é de que a série está divergindo, ou seja, não está tendendo para um valor específico. Em outras palavras, a série divergente.

Resposta

∑ n = 1 ∞ 1 1 + n   é   d i v e r g e n t e

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