Qual das fórmulas a seguir não equivale às outras duas?

a.

b.

c.

Começando pela somatória (a)

Vamos calcular os termos dessa somatória.

O primeiro termo para k=2 é ;

O segundo termo para k=3 é ;

O terceiro termo para k=4 é ;

Se repararmos bem, existe um padrão, perceba que o denominador (a parte debaixo da fração) varia, sendo o de cada termo uma unidade maior que a do termo anterior.

Agora o numerador (a parte de cima da fração) é sempre 1, mas oscila, quero dizer, cada termo tem o sinal oposto ao termo anterior, isso acontece porque o número na base do numerador é negativo, e o expoente varia, e quando o expoente for ímpar o resultado é negativo, tal como se o expoente for par o resultado é positivo.

Ou seja, a somatória equivale a expressão:

Agora vamos analisar a somatória (b)

A gente pode usar a estratégia que aprendermos no passo anterior para analisar essa somatória. Vamos lá, o numerador tem a base negativa e um expoente que oscila entre números pares e ímpares, então cada termo tem o sinal oposto ao termo anterior, começando por ‘+’. Já no denominador, todo termo tem uma unidade a mais que o termo anterior, começando por 1.

Se você quiser mais segurança pode calcular termo a termo, nesse caso são poucos termos então não vai demorar muito, mas recomendo aprender essas estratégias para analisar as somatórias.

O importante é que essa somatória é diferente da primeira.

Então já podemos ver que a somatória (a) e a somatória (b) não são equivalentes.

Agora vamos ver com qual das formulas anteriores a somatória (c) é equivalente.

Novamente, no numerador a base é um número negativo e o expoente oscila entre números pares e números ímpares, então cada termo tem o sinal oposto ao termo anterior, começando por ‘-’. Já no denominador, cada termo é uma unidade maior que o termo anterior, começando por 1, então:

Olha só, não é que deu exatamente o que encontramos na fórmula (a). Podemos dizer que (a) e (c) são equivalentes.