Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.1 - Ex. 39
23-56. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
39.
Passo 1
Fala aí, tudo beleza? Nessa questão queremos determinar se a sequência do enunciado diverge ou converge, certo?
Lembrando que, para descobrirmos se a sequência em questão converge ou não, devemos aplicar o limite com tendendo ao infinito. Aqui vale relembrar um pouco da teoria sobre sequências. Assim como discutido na seção 11.1 do Stewart, temos que:
Se existir, então a sequência converge. Caso contrário, então a sequência diverge. Show de bola?
Então temos que calcular o limite da nossa sequência
Passo 2
A sequência em questão, teremos:
Se dividirmos todos os termos por , teremos o seguinte:
Ao dividir por, estamos “normalizando” a expressão, o que nos ajuda a focar nos termos exponenciais que crescem ou diminuem mais rapidamente conforme aumenta.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento desta expressão quando tende ao infinito:
Para o numerador temos que .
Para o denominador temos que .
Sendo assim, teremos um número dividido por algo muito grande. Portanto, nosso limite será ! Dessa forma, a conclusão é de que a sequência converge.