Enunciado

23-56. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.

40. a n = t g - 1 n n

Passo 1

E aí, gente! Tranquilidade? Antes de qualquer coisa vamos entender o que a questão está pedindo e como podemos resolver. A questão está pedindo para determinarmos se a sequência do enunciado diverge ou converge, certo?

Como podemos fazer isso?

Para descobrirmos se a sequência em questão converge ou não, devemos aplicar o limite com n tendendo ao infinito. Aqui vale relembrar um pouco da teoria sobre sequências. Assim como discutido na seção 11.1 do Stewart, temos que:

Se lim n → ∞ ⁡ a n existir, então a sequência converge. Caso contrário, então a sequência diverge.

Belezura?

Sendo assim, temos que aplicar o limite na sequência em questão:

lim n → ∞ ⁡ t g - 1 n n

Passo 2

Aplicar o limite na sequência lim n → ∞ ⁡ t g - 1 n n

Vamos analisar o numerador e o denominador:

Para o numerador podemos pensar no seguinte: para que ângulo a tangente tende para o infinito?

De acordo com a trigonometria, esse ângulo é π 2 , não é mesmo? Sendo assim, temos que

lim n → ∞ ⁡ t g - 1 n = π 2

Passo 3

Para o denominador não tem muito segredo, temos que

lim n → ∞ ⁡ n = ∞

Portanto,

lim n → ∞ ⁡ t g - 1 n n = l i m n → ∞ π 2 n = 0

Então o que seria um número dividido por algo gigantesco? Sim, o resultado disso é aproximadamente 0! Sendo assim, a conclusão é de que a sequência converge.

Resposta

a n = t g - 1 n n   é   c o n v e r g e n t e e converge para 0.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = ln ⁡ n + 1 - ln ⁡ n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = t g 2 n π 1 + 8 n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = cos ⁡ n 2
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = s e n2 n 1 + n
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite. a n = 3 n + 2 5 n