Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.1 - Ex. 40
23-56. Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
40.
Passo 1
E aí, gente! Tranquilidade? Antes de qualquer coisa vamos entender o que a questão está pedindo e como podemos resolver. A questão está pedindo para determinarmos se a sequência do enunciado diverge ou converge, certo?
Como podemos fazer isso?
Para descobrirmos se a sequência em questão converge ou não, devemos aplicar o limite com tendendo ao infinito. Aqui vale relembrar um pouco da teoria sobre sequências. Assim como discutido na seção 11.1 do Stewart, temos que:
Se existir, então a sequência converge. Caso contrário, então a sequência diverge.
Belezura?
Sendo assim, temos que aplicar o limite na sequência em questão:
Passo 2
Aplicar o limite na sequência
Vamos analisar o numerador e o denominador:
Para o numerador podemos pensar no seguinte: para que ângulo a tangente tende para o infinito?
De acordo com a trigonometria, esse ângulo é , não é mesmo? Sendo assim, temos que
Passo 3
Para o denominador não tem muito segredo, temos que
Portanto,
Então o que seria um número dividido por algo gigantesco? Sim, o resultado disso é aproximadamente 0! Sendo assim, a conclusão é de que a sequência converge.
Resposta
e converge para 0.