Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.2 - Ex. 6
Calcule os oito primeiros termos da sequência de somas parciais corretas para quatro casas decimais. Parece que a série é convergente ou divergente?
Passo 1
Fala aííííííííí!
Nessa questão, temos uma sequência com o termo geral:
Pra calcular os oitro primeiros termos, basta pegar essa fórmula e substituir pelos oito primeiros inteiros . E assim, vamos ter , , , ... .
Mas o enunciado pediu os termos da sequência de SOMAS PARCIAIS:
Então temos que lembrar que as somas parciais são somas dos primeiros termos da sequencia:
Mas um jeito mais prático é pegar a soma anterior já calculada () e adicionar o novo termo (). Aplicando nos índices do nosso interesse, ficamos com:
Agora vamos calcular. Mas atenção que queremos resultados com quatro casas decimais!
Depois vamos tentar inferir se a série converge ou diverge. Então vamos relembrar do seguinte conceito. Uma série é dita divergente ou convergente se, somente se, a sequência de somas parciais também for divergente ou convergente, respectivamente.
Passo 2
A sequência que nos foi dada é:
A primeira soma parcial é igual ao primeiro termo da sequência :
A segunda soma parcial é a primeira soma parcial mais o segundo termo da sequência :
A terceira soma é a segunda soma mais o terceiro termo:
E repetindo esse processo achamos todos os outros termos:
Finalmente, o oitavo termo da sequência de somas parciais:
Se notarmos que a sequência está tendendo para um valor fixo, então a conclusão será de que a mesma é convergente. Caso contrário, então a conclusão será de que a mesma é divergente. Sem mais delongas, mãos à obra!
Podemos notar que a sequência não está tendendo para um valor específico. Sendo assim, a conclusão é de que a série é divergente.