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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.2 - Ex. 28

Calcule a soma

(sum_(k = 1)^7 k)^2 - sum_(k = 1)^7 (k^3)/(4)

Passo 1

Bom, a questão é bem direta ao ponto. Precisamos calcular este somatório. Para isto, temos duas opções: ou fazemos na “raça”, calculando cada termo e depois somando-os, ou utilizamos algumas regras discutidas durante o capítulo sobre somas finitas. Nossa escolha será a segunda metodologia. Devemos ter um domínio no uso destas regras para que, qualquer somatório que nos apareça, consigamos resolver facilmente.

Vamos então para a nossa questão!

Passo 2

Vamos começar por organizar o nosso somatório. Utilizando a regra de multiplicação de uma constante, temos:

(sum_(k = 1)^7 k)^2 - sum_(k = 1)^7 (k^3)/(4) = (sum_(k = 1)^7 k)^2 - (1)/(4) * sum_(k = 1)^7 k^3

Todas as possíveis mudanças já foram feitas, temos que calcular agora sum_(k = 1)^7 k e sum_(k = 1)^7 k^3 através das relações discutidas durante a seção.

Passo 3

Na seção do livro vimos que a soma dos n primeiros números inteiros é dado por:

sum_(k = 1)^n k = (n ( n + 1 ))/(2)

Portanto, para n = 7 , temos:

sum_(k = 1)^7 k = (7 ( 7 + 1 ))/(2) = 28

Passo 4

Já a soma dos primeiros n cubos, a relação é:

sum_(k = 1)^n k^3 = ((n (n + 1))/(2))^2

Portanto, temos:

sum_(k = 1)^7 k^3 = ((7 (7 + 1))/(2))^2 = 28^2 = 784

Passo 5

Agora, basta substituirmos os valores descobertos nos Passos 3 e 4 na relação descrita no Passo 2. Sendo assim, o somatório é igual a:

(sum_(k = 1)^7 k)^2 - sum_(k = 1)^7 (k^3)/(4) = (28)^2 - (1)/(4) * 784 = 588

Resposta

(sum_(k = 1)^7 k)^2 - sum_(k = 1)^7 (k^3)/(4) = 588

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