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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.12 - Ex. 5

5-Seja f (x , y) = {[[(x y^3)/(x^2 + y^2) , (x , y) != ( 0 , 0 )],[0 , (x , y) = ( 0,0 )]])

Mostre que (del^2 f)/(del x del y) ( 0 , 0 ) != (del^2 f)/(del y del x) ( 0 , 0 )

Passo 1

Galera, vamos começar calculando as derivadas parciais no ponto (0 , 0) . Masss se lembrem que para usar as regras de derivação a função não poderia mudar de definição no ponto que nós queremos. (In)felizmente, temos a definição de derivadas parciais para nos salvar,né ?!

Nós vamos usar isso aqui:

(del f)/(del x) (x_0 , y_0) = underset(Delta x -> 0)(lim) (f (x_0 + Delta x , y_0) - f (x_0 , y_0))/(Delta x)

E

(del f)/(del y) (x_0 , y_0) = underset(Delta y -> 0)(lim) (f (x_0 , y_0 + Delta y) - f (x_0 , y_0))/(Delta y)

Passo 2

Assim,

(del f)/(del x) (0 , 0) = underset(Delta x -> 0)(lim) (f (x , 0) - f (0 , 0))/(Delta x) = underset(Delta x -> 0)(l i m) (((x xx 0)/(x^2 + 0) - 0)/(Delta x)) = 0

(del f)/(del y) (0 , 0) = underset(Delta y -> 0)(lim) (f (0 , y) - f (0 , 0))/(Delta y) = underset(Delta y -> 0)(l i m) (((0 xx y^3)/(0 + y^2) - 0)/(Delta y)) = 0

Passo 3

Já para (x_0 , y_0) != (0 , 0) , podemos calcular as parciais pelas regras:

(del f)/(del x) (x_0 , y_0) = (y_0^3 (x_0^2 + y_0^2) - x_0 y_0^3 (2 x_0))/((x_0^2 + y_0^2)^2) = (y_0^3 (y_0^2 - x_0^2))/((x_0^2 + y_0^2)^2)

E

(del f)/(del y) (x_0 , y_0) = (3 x_0 y_0^2 (x_0^2 + y_0^2) - x_0 y_0^3 (2 y_0))/((x_0^2 + y_0^2)^2) = (x_0 y_0^2 (3 x_0^2 + y_0^2))/((x_0^2 + y_0^2)^2)

Dessa forma,

(del f)/(del x) (x , y) = {[[(y^3 (y^2 - x^2))/((x^2 + y^2)^2) , (x , y) != ( 0 , 0 )],[0 , (x , y) = ( 0,0 )]])

(del f)/(del y) (x , y) = {[[(x y^2 (3 x^2 + y^2))/((x^2 + y^2)^2) , (x , y) != ( 0 , 0 )],[0 , (x , y) = ( 0,0 )]])

Gente, respira fundo, ainda não acabou, mas estamos quase lá!

Passo 4

Cara, para calcular (del^2 f)/(del y del x) a gente usa aqui:

(del)/(del y) ((del f)/(del x)) ( 0,0 )

Mas de novo, vem aquele probleminha da nossa função mudar de definição no ( 0,0 ) (sério, já to de saco cheio disso!!!) então, o limite vai de novo nos salvar:

(del)/(del y) ((del f)/(del x)) (0,0) = underset(y -> 0)(lim) ((del f)/(del x) (0 , y) - (del f)/(del x) (0 , 0))/(y - 0)

Como nós já calculamos essa derivadas parciais lá em cima é só substituir no limite:

underset(y -> 0)(lim) ((y^3 (y^2 - 0))/((0 + y^2)^2) - 0)/(y - 0) = underset(y -> 0)(l i m) (y^5)/(y^5) = 1

Agora, vamos ter que fazer a mesma coisa para (del^2 f)/(del x del y) (calma, estamos quase acabando):

(del)/(del x) ((del f)/(del y)) (0,0) = underset(x -> 0)(lim) ((del f)/(del y) (x , 0) - (del f)/(del y) (0 , 0))/(x - 0) = underset(y -> 0)(lim) ((x xx 0 (3 x^2 + 0))/((x^2 + 0)^2) - 0)/(x - 0) = 1

Só eu que estou imensamente feliz dessas derivadas parciais mistas terem dado diferentes?! Acho que não, né?!

Passo 5

Como (del^2 f)/(del y del x) ( 0 , 0 ) = 0 e (del^2 f)/(del x del y) ( 0 , 0 ) = 1 , (del^2 f)/(del x del y) (0 , 0) != (del^2 f)/(del y del x) (0 , 0) .

Agora sim, fim!!!

Resposta

Demonstração acima.

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Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem. v = e x e y