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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.3 - Ex. 58

Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.

v = e x e y

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função com duas variáveis:

v = e x e y

Queremos determinar as derivadas parciais de segunda ordem.

Para isso, primeiramente precisamos encontrar a derivada de primeira ordem... mas como??

Para isso, é necessário fixar as variáveis que não estão envolvidas na derivação e tratá-las como valores constantes.

Assim, teremos as derivadas de primeira ordem com relação a x e y :

v x

v y

Mas nessa questão, teremos de calcular derivadas parciais de segunda ordem. O raciocínio é o mesmo que possuímos para derivada de primeira ordem. A diferença está no fato de derivarmos uma função que já é derivada de uma anterior.

Com isso, vamos derivar em relação a x e a y as derivadas de primeira ordem. Assim, teremos:

v x x

v x y

v y x

v y y

Agora bora lá!! 😉

Aaaah, lembre-se que:

v y x = v x y

Também iremos utilizar a Regra da Cadeia. Para isso, lembre-se que uma derivada d y d x pode ser dada como:

d y d x = d y d u d u d x

Passo 2

Primeiramente vamos derivar com relação a x .

Para isso, vamos fazer a Regra da Cadeia, fazendo u = x e y , temos:

v x = ∂ d u e u ∂ d x x e y

Derivando e u e substituindo u , obtemos:

v x = e x e y ∂ d x x e y

Realizando a segunda derivada, tratando e y como constante, obtemos:

v x = e x e y e y ∴

v x = e x e y + y

Agora vamos fazer o mesmo para y !!

Passo 3

Agora vamos derivar em relação a y de forma análoga ao passo anterior, ou seja, utilizando a Regra da Cadeia também.

Com isso, fazendo u = e x e y , temos:

v y = ∂ d u e u ∂ d y x e y

Derivando e u e substituindo u , obtemos:

v y = e x e y ∂ d y x e y

Realizando a segunda derivada, tratando x como constante, obtemos:

v y = e x e y x e y

Reorganizando a nossa expressão:

v y = x e x e y + y

Passo 4

Agora vamos fazer a derivada v x x . Para isso, vamos derivar v x com relação a x .

Aplicando a Regra da Cadeia, fazendo u = x e y + y , obtemos:

v x x = e u ∂ d x x e y + y

Derivando e u e substituindo u , obtemos:

v x x = e x e y + y ∂ d x x e y + y

Realizando a segunda derivada, tratando e y e y como constantes, obtemos:

v x x = e x e y + y e y ∴

v x x = e x e y + 2 y

Passo 5

Agora vamos fazer a derivada v y y . Para isso, vamos derivar v y com relação a y .

Primeiramente, retirando a constante da derivada, temos:

v y y = x ∂ d y e x e y + y

Aplicando a Regra da Cadeia, fazendo u = x e y + y , obtemos:

v y y = x ∂ ∂ u e u ∂ d y x e y + y

Derivando e u e substituindo u , obtemos:

v y y = x e x e y + y ∂ d y x e y + y

Realizando a segunda derivada, tratando x como constante, obtemos:

v y y = x e x e y + y x e y + 1

Passo 6

Agora vamos calcular v x y (que vai ser a mesma coisa de v y x ).

e x e y + y

Aplicando a Regra da Cadeia, fazendo u = x e y + y , obtemos:

v x y = ∂ ∂ u e u ∂ d y x e y + y

Derivando e u e substituindo u , obtemos:

v x y = e x e y + y ∂ d y x e y + y

Realizando a segunda derivada, tratando x como constante, obtemos:

v x y = e x e y + y x e y + 1 = v y x

Resposta

v x y = e x e y + y x e y + 1 = v y x

v y y = x e x e y + y x e y + 1

v x x = e x e y + 2 y

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