6-Se f(x, y) = ln(x - y) + t * g(x + y) mostre que (∂²f / ∂x²) = (∂²f / ∂y²)

Passo 1

Galera, nós sabemos que:

(del^2 f)/(del x^2) = (del)/(del x) ((del f)/(del x))

Assim,

f_x x (x , y) = (del)/(del x) ( (del)/(del x) ln (x - y) + (del)/(del x) t g (x + y) )

= (del)/(del x) ((1)/(x - y) xx 1 + sec^2 ( x + y ))

= ((- 1)/((x - y)^2) + 2 sec (x + y) xx t g ( x + y ) sec ( x + y ))

Passo 2

Agora, nós temos que ver se achamos a mesma expressão pra (del^2 f)/(del y^2) , mas para isso temos que lembrar que:

(del^2 f)/(del y^2) = (del)/(del y) ((del f)/(del y))

Assim,

f_x x (x , y) = (del)/(del y) ( (del)/(del y) ln (x - y) + (del)/(del y) t g (x + y) + (del)/(del y) ( x + y ) )

= (del)/(del y) ((1)/(x - y) xx - 1 + sec^2 ( x + y ))

= ((- ( - 1 xx - 1 ))/((x - y)^2) + 2 sec (x + y) xx t g ( x + y ) sec ( x + y ))

= ((- 1)/((x - y)^2) + 2 sec (x + y) xx t g ( x + y ) sec ( x + y ))

E não é que deu a mesma coisa ?!

Resposta

Demonstração acima.

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