Exercícios de Derivadas Parciais de Ordem Superior - Lista de Exercícios Resolvida

Sabendo que mostre que

Determine as derivadas parciais de primeira ordem e a derivada mista de segunda ordem da função:

Se

Mostre que

Dada uma função diferenciável de e , onde é uma constante.

Mostre que a função é solução da equação de onda

Sejam funções diferenciáveis. Mostre que , em que , satisfaz a equação de onda .

Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de

Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem da função

Verifique se a função satisfaz a equação de Laplace:

Verifique se a função satisfaz a equação de Laplace:

Verifique se a função satisfaz a equação de Laplace:

Verifique se a função satisfaz a equação de Laplace:

Verifique se a função satisfaz a equação de Laplace:

Uma função

É harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace

Mostre que a função

É harmônica.

Responda os itens a seguir.

Seja função

Calcule as derivadas parciais e .

Sejam funções diferenciáveis. Mostre que , em que , satisfaz a equação de onda .

Sabendo que mostre que

Verifique se a função

Satisfaz a equação de Laplace

Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem da função

Seja , determine

Mostre que

Seja

Então é igual a:

(Cap 14.3 – Ex 76) Determine se cada uma das seguintes funções é uma solução da equação de Laplace

3. A equação de Laplace é uma importante relação que descreve importantes propriedades físicas. Uma função resolve esta equação quando . Mostre que é uma solução para a equação de Laplace.

(Cap 14.3 – Ex 80) Se onde mostra isso

Sejam e duas funções continuamente diferenciáveis em e seja a função definida por

Então é igual a

Seja .

b) Verifique que para todo .

Seja uma função qualquer. Assinale a única afirmação falsa.

a) Se existe, então também existe.

b) Se e existem e são funções de classe em , então para todo tem-se .

c) Se é uma função de classe em , então as funções e são diferenciáveis em .

d) Se para todo vetor unitário , então .

e) Se para todo , então é diferenciável em .

A equação de Laplace tridimensional é:

As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas.

Considere as funções:

Identifique as funções harmônicas:

Considere as seguintes afirmativas sobre a equação

1. é uma solução.
2. é uma solução.
3. é uma solução.

Assinale a alternativa correta:

1. A afirmativa I é a única correta
2. A afirmativa II é a única correta
3. Todas as afirmativas são falsas
4. Todas as afirmativas são corretas
5. A afirmativa III é a única correta

Será que existe uma função continuamente diferenciável cujas derivadas parciais sejam

NÃO, pois se e então deveria valer para todo , o que é falso.

NÃO, uma vez que

NÃO, pois e , o que não ocorre para funções polinomiais

SIM, pois uma função possui dois graus de liberdade, definidos pelas variáveis e . Esses dois graus de liberdade geram dois graus de liberdade para as derivadas parciais.

SIM, bastando para isso ajustar as constantes de integração em e em

Verifique se a função satisfaz a equação de Laplace:

Verifique que

Satisfaz a equação da onda

Verifique que satisfaz a equação do calor:

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função:

2)

Determine as derivadas parciais de segunda ordem.

9)

23 Calcule para .

Dica: Deve ser de fácil resolução.

4) Mostre que a função é uma solução da equação