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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.1 - Ex. 60

60) Prove que não há reta que passe pelo ponto (1,2) e seja tangente à curva y = 4 - x 2 .

Passo 1

Primeiramente iremos calcular a inclinação da reta tangente. Para isso utilizamos a seguinte definição:

m x 1 = lim ∆ x → 0 ⁡ f x 1 + ∆ x - f ( x 1 ) ∆ x

Assumindo que f x = 4 - x 2 , temos:

f x 1 + ∆ x = 4 - x 1 + ∆ x 2 e

f x 1 = 4 - x 1 2

Logo, aplicando na definição:

m x 1 = lim ∆ x → 0 ⁡ 4 - x 1 + ∆ x 2 - 4 - x 1 2 ∆ x

Desenvolvendo o produto notável e simplificando, temos:

m x 1 = - 2 x 1

Passo 2

Agora utilizamos a equação fundamental da reta:

y - y p = m . ( x - x p )

Substituindo o coeficiente angular e o ponto dado, temos:

y - 2 = - 2 . x 1 . x 1 - 1

Mas, y = 4 - x 2

4 - x 1 2 - 2 = - 2 x 1 . x 1 + 1

- x 1 2 + 2 = - 2 x 1 2 - 2 x 1

Rearranjando:

x 1 2 + 2 x 1 + 1 = - 1

x 1 - 1 2 = - 1

Observa-se que o resultado acima é impossível, uma vez que trabalhamos no conjunto dos números reais.

Resposta

Não há reta que passe pelo ponto (1,2) e seja tangente à curva y = 4 - x 2 .

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