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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 8

7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .

8. z = a r c tan ⁡ x 2 + y 2 ,   x = s ln ⁡ t ,   y = t e s

Passo 1

Oie, tudo bem?! Vamos resolver essa atividade juntos, eu e você.

A gente quer encontrar a derivada parcial:

∂ z ∂ s   ;   ∂ z ∂ t

Sendo que:

z = a r c tan ⁡ x 2 + y 2

E temos as seguintes parametrizações:

x = s ln ⁡ t ,   y = t e s

Para encontrarmos ∂ z ∂ s e   ∂ z ∂ t , temos que utilizar a regra da cadeia no seguinte formato:

∂ z ∂ s = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ s

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ t

Passo 2

As derivadas necessárias para determinarmos ∂ z ∂ s são:

z = a r c tan ⁡ x 2 + y 2

Precisamos utilizar a regra da cadeia aqui, e lembrar da derivada do arco tangente:

arctan ⁡ x ' = 1 x 2 + 1

Utilizando então a regra da cadeia:

∂ z ∂ x = ∂ tan ⁡ g x ∂ x ⋅ ∂ x 2 + y 2 ∂ x

Teremos então:

∂ z ∂ x = 2 x 1 + x 2 + y 2 2

Para derivar x :

x = s ln ⁡ t

Mantemos o t como constante e derivamos em relação a s :

∂ x ∂ s = ln ⁡ t

Agora vamos derivar z em relação a y , aqui a gente pode observar que a derivação será semelhante a que nós já fizemos:

z = a r c tan ⁡ x 2 + y 2

∂ z ∂ y = 2 y 1 + x 2 + y 2 2

Temos que derivar tamém y :

y = t e s

∂ y ∂ s = t e s

E as derivadas necessárias para determinarmos ∂ z ∂ t são:

∂ z ∂ x = 2 x 1 + x 2 + y 2 2

Agora iremos derivar x :

x = s ln ⁡ t

∂ x ∂ t = s t

Agora é hora de juntar tudo!

Passo 3

Agora que achamos todas as derivadas que queríamos, substituindo os resultados na regra da cadeia supracitada no passo 1 , obteremos:

Para ∂ z ∂ s :

∂ z ∂ s = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ s + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ s

∂ z ∂ s = 2 x 1 + x 2 + y 2 2 ⋅ ln ⁡ t + 2 y 1 + x 2 + y 2 2 ⋅ t e s

Colocando em evidência o termo semelhante:

∂ z ∂ s = 2 1 + x 2 + y 2 2 x ⋅ ln ⁡ t + y ⋅ t e s

Para ∂ z ∂ t :

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ x ∂ x ∂ t + ∂ z ∂ y ∂ y ∂ t

∂ z ∂ t = 2 x 1 + x 2 + y 2 2 ⋅ s t + 2 y 1 + x 2 + y 2 2 ⋅ e s

Depois de colocarmos em evidência:

∂ z ∂ t = 2 1 + x 2 + y 2 2 x s t + y e s

Resposta

∂ z ∂ s = 2 1 + x 2 + y 2 2 x . ln ⁡ t + y . t e s

∂ z ∂ t = 2 1 + x 2 + y 2 2 x s t + y e s

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