Determine, com precisão de quatro casas decimais, a área da parte da superfície z = (1 + x^2) / (1 + y^2) que está acima do quadrado |x| + |y| ≤ 1 . Ilustre, traçando o gráfico dessa parte da superfície.

Passo 1

Fala galera, beleza!?

Com precisão de quatro casas decimais precisamos determinar a área da superfície:

z = 1 + x 2 1 + y 2

Que está acima do quadrado:

x + y ≤ 1

Também, ilustrar o gráfico dessa superfície.

Vamos com calma pessoal!

Primeiro vamos lembrar como podemos expressar a área de superfície. Temos a seguinte fórmula:

A = ∫ ∫ D   1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   d A

Onde, d A = d x d y       o u         d A = d y d x

Nossa região D, é a região delimitada pelo quadrado: x + y ≤ 1

Podemos isolar y , e lembrar que modulo podemos escrever como mais ou menos. Ficando assim:

y ≤ 1 - x

- 1 - x ≤ y ≤ 1 - x

Assim, temos o intervalo de integração em y .

Para achar o intervalo de integração em x , verificamos quando y for zero. Assim:

x + 0 ≤ 1

x ≤ 1

- 1 ≤ x ≤ 1

Repare que também já temos a função z , basta fazermos as derivadas em relação a x e y e substituir na integral.

Para resolver essa integral, você pode usar o WolframAlpha ou algum outro software de sua preferência. Já para esboçar o gráfico, vamos utilizar o Geogebra 3D, mas você pode utilizar outro software.

Então, vamos nessa pessoal!

Passo 2

Vamos começar reorganizando nossa integral.

A = ∫ ∫ D   1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   d A

Onde, d A = d x d y       o u         d A = d y d x

A função z é:

z = 1 + x 2 1 + y 2

Fazendo a derivada em relação x , temos:

∂ z ∂ x = 2 x 1 + y 2

Já em relação y , vamos ter:

∂ z ∂ y = - 2 y 1 + x 2 1 + y 2 2

Nossos limites de integração são:

- 1 ≤ x ≤ 1

- 1 - x ≤ y ≤ 1 - x

Como a variável y possui uma função em seu limite que depende de x , vamos ter que integrar primeiro em d y .

Ficando assim nossa integral:

A = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - x 1 - x 1 + 2 x 1 + y 2 2 + - 2 y 1 + x 2 1 + y 2 2 2   d y   d x

Passo 3

Nosso objetivo é resolver essa integral.

Como recomendação do livro, devemos utilizar um software.

Utilizando o WolframAlpha, vamos entrar com o seguinte input:

Integrate[Sqrt[1+(2x/(1+y^2 ))^2+(-2y(1+x^2 )/(1+y^2 )^2 )^2],{y,-(1-|x|),1-|x|},{x,-1,1}]

Utilizando um sistema de computação algébrica, estimamos a integral e nosso resultado dá:

A ≈ 2,6959

Passo 4

Agora, vamos fazer um esboço dessa superfície.

z = 1 + x 2 1 + y 2

Acima do quadrado x + y ≤ 1 .

Entrando com essas funções no Geogebra 3D, vamos obter o seguinte gráfico:

Em cinza temos a superfície z , e em vermelho o quadrado que delimita a superfície.

Repare que é um gráfico chatinho de fazer a mão, por isso a necessidade de um software gráfico.

Resposta

A ≈ 2,6959

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