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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 1d

Verificar a regra da cadeia

(d f)/(d t) = (del f)/(del x) . (d x)/(d t) + (del f)/(del y) . (d y)/(d t)

Para a função

f (x , y) = 5 x y + x^2 - y^2

x = t^2 - 1

y = t + 2

Passo 1

A regra da cadeia é usada para derivar uma função composta para funções de uma variável, se y = f (x) e x = h ( t ) tem se

(d y)/(d t) = (d f (x))/(d x) . (d x)/(d t)

Se ambas f e h forem deriváveis. Para funções de duas variáveis, tem se como 1º caso , o seguinte:

Suponha z = f ( x , y ) diferncialvel em x e y e de modo que x = g (t) e y = h (t) diferenciáveis em t. Então z é diferenciável em t de forma que

(d z)/(d t) = (del z)/(del x) . (d x)/(d t) + (del z)/(del y) . (d y)/(d t)

Passo 2

Para a função da nossa questão temos:

(d f (x , y))/(d t) = (del f (x , y))/(del x) . (d x ( t_0 ))/(d t) + (del f (x , y))/(del y) . (d y (t_0))/(d t)

(del f (x , y))/(del x) = 5 y + 2 x

(del f (x , y))/(del y) = 5 x - 2 y

(d x ( t ))/(d t) = 2 t

(d y (t))/(d t) = 1

Passo 3

Substituindo as equações encontradas na fórmula da regra da cadeia do 1º caso

(d f (x , y))/(d t) = ( 5 y + 2 x ) xx 2 t + ( 5 x - 2 y ) xx 1 =

Deixando tudo numa só variável (t)

= (2 t^2 + 5 t + 8) 2 t + (5 t^2 - 2 t - 9) = 4 t^3 + 15 t^2 + 14 t - 9

Resposta

4 t^3 + 15 t^2 + 14 t - 9

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