(a) Mostre que as equações paramétricas , representam um hiperboloide de uma folha.

(b) Use as equações paramétricas da parte (a) para traçar o gráfico do hiperboloide para o caso .

(c) Determine, mas não calcule, a integral dupla que dá a área de superfície da porção do hiperboloide da parte (b) que está entre os planos e .

(a) Galera, a fórmula para a superfície do hiperboloide de uma folha é dada por

Com isso, podemos substituir nossos parâmetros nessa fórmula e verificar:

Organizando, temos

Ou seja, as equações paramétricas satisfazem a equação do hiperboloide de uma folha!

(b) Agora vamos traçar o gráfico do hiperboloide com , onde podemos substituir na fórmula:

Jogando essa fórmula deduzida num programa top, chegaremos a esse gráfico aqui:

(c) Pessoal, para descobrir a integral dupla para a área de superfície, temos essa fórmula aqui:

Utilizando nas equações paramétricas, podemos calcular nosso :

Com o que temos do item (a), teremos:

Substituindo em , podemos fazer as derivadas parciais de em relação a e a :

Então, temos agora nosso produto vetorial dado por

Resolvendo por qualquer método, chegaremos a

Calculando agora o módulo desse produto vetorial, que é a soma de todos os termos ao quadrado dentro de uma raiz, teremos

Agora para os nossos limites de integração, lembrando que nós estamos entre os planos:

Com sendo nossa função que representa a superfície, então

Dividindo tudo por , isso implica que:

Mas também temos que saber que as derivadas de cada um desses termos é:

Show! Podemos assim escrever a integral dupla que dá a área da superfície: