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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.9 - Ex. 18

7-19 Prove a indentidade

18. 1 + tgh ⁡ x 1 - tgh ⁡ x = e 2 x

Passo 1

Fala aí,

Nessa questão queremos provar a seguinte identidade:

1 + tgh ⁡ x 1 - tgh ⁡ x = e 2 x

Para isso, vamos lembrar que a tangente é o seno sobre cosseno e isso também é válido para as funções hiperbólicas:

tgh ⁡ x = senh ⁡ x cosh ⁡ x

Além disso, vamos precisar das fórmulas do seno e cosseno hiperbólico:

s e n h x = e x - e - x 2

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Prontinho, com isso já conseguimos resolver essa.

Passo 2

Vamos provar a seguinte identidade:

1 + tgh ⁡ x 1 - tgh ⁡ x = e 2 x

Vamos substituir a tangente hiperbólica por seno hiperbólico sobre cosseno hiperbólico:

1 + senh ⁡ x cosh ⁡ x 1 - senh ⁡ x cosh ⁡ x = e 2 x

Fazendo as somas:

cosh ⁡ x + senh ⁡ x cosh ⁡ x cosh ⁡ x - senh ⁡ x cosh ⁡ x = e 2 x

Podemos cortar o cosh ⁡ x que esta dividindo em cima e embaixo:

cosh ⁡ x + senh ⁡ x cosh ⁡ x - senh ⁡ x = e 2 x

Agora, vou jogar o fator que está dividindo pro outro lado multiplicando.

cosh ⁡ x + senh ⁡ x = e 2 x cosh ⁡ x - senh ⁡ x

Agora a gente pode verificar isso substituindo o seno e o cosseno hiperbólico por seus valores:

e x + e - x 2 + e x - e - x 2 = e 2 x e x + e - x 2 - e x - e - x 2

Realizando as somas:

e x + e - x + e x - e - x 2 = e 2 x e x + e - x - e x + e - x 2

e x + e x 2 = e 2 x e - x + e - x 2  

2 e x 2 = e 2 x   2 e - x 2

e x = e 2 x ⋅ e - x

Quando fazemos a multiplicação da esquerda somamos os expoentes 2 x - x = x , então:

e x = e x

Ou seja, a identidade é verdadeira.

Resposta

Demonstração nos Passos.

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Reescreva as expressões dos exercícios em termo das exponenciais e simplifique os resultados tanto quanto for possível.
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Cada um os exercícios fornece um valor de s e n h x ou c o s h x . Utilize as definições e a identidade cosh 2 ⁡ x - s e n h 2 x = 1 para determinar os valores das cinco funções hiperbólicas remanesce