67. Se y = f(u) e u = g(x) , onde f e g são funções duas vezes diferenciáveis, mostre que

(d^2y)/(d^2x) = (d^2y)/(d^2u) ⋅ (du/dx)^2 + (dy)/(du) ⋅ (d^2u)/(d^2x)

Passo 1

Oie galerinha, bora resolver essa comigo??

O problema envolve duas funções y   e   u , onde y é uma função de u ,   e   u é uma função de x .

Nos é pedido para relacionar a segunda derivada de y em relação a x com as derivadas y   e   u em relação a u   e   x , respectivamente.

Inicialmente, usamos a regra da cadeia para diferenciar y em relação a x ,   que nos dá:

d y d x = d y d u ⋅ d u d x

Essa expressão mostra como a taxa de variação de y em relação a x é afetada pela taxa de variação de u em relação a x , bem como pela taxa de variação de y em relação a u .

Diferenciamos novamente a expressão d y / d x em relação a x usando a regra do produto, o que nos leva a:

d 2 y d x 2 = d 2 y d u 2 ⋅ d u d x 2 + d y d u ⋅ d 2 u d x 2

Essa expressão mostra como a curvatura de y   em relação a x é influenciada pelas curvaturas de y   e   u em relação a u   e   x respectivamente.

Passo 2

Para mostrar isso a gente só precisa derivar duas vezes y , então vamos lá:

Para ser mais fácil de ver o que está acontecendo vamos usar essa notação:

y = f g x

A regra da cadeia nos diz que:

y ' = f ' g x ⋅ g ' x

Derivando mais uma vez, usando a regra do produto:

y ' ' = f ' g x ' ⋅ g ' x + g ' ' x ⋅ f ' g x

Aquela primeira derivada precisamo da regra da cadeia para simplifica-la:

y ' ' = f ' ' g x ⋅ g ' x ⋅ g ' x + g ' ' x ⋅ f ' g x

Passo 3

Esse passo, quando feito na outra notação, fica bem difícil de visualizar. Mas é isso ai agora é só simplificar:

y ' ' = f ' ' g x ⋅ g ' x 2 + g ' ' x ⋅ f ' g x

Quando passamos para a outra notação, essa expressão fica:

d 2 y d x 2 = d 2 y d u 2 ⋅ d u d x 2 + d y d u ⋅ d 2 u d x 2

A mesma do enunciado.

Se a gente quisesse fazer desde o começo por essa notação ia ficar assim:

d y d x = d y d u ⋅ d u d x

Derivando mais uma vez:

d 2 y d x 2 = d d x d y d u ⋅ d u d x

Passo 4

Usando a regra do produto:

d 2 y d x 2 = d d x d y d u ⋅ d u d x + d d x d u d x ⋅ d y d u

d 2 y d x 2 = d d x d y d u ⋅ d u d x + d 2 u d x 2 ⋅ d y d u

Pela regra da cadeia aquela primeira derivada vai ficar:

d 2 y d x 2 = d 2 y d u 2 ⋅ d u d x ⋅ d u d x + d 2 u d x 2 ⋅ d y d u

d 2 y d x 2 = d 2 y d u 2 ⋅ d u d x 2 + d y d u ⋅ d 2 u d x 2

Prontinho!

Resposta

Vide a explicação

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados