Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.7 - Ex. 67
67. Se e , onde f e g são funções duas vezes diferenciáveis, mostre que
Passo 1
Oie galerinha, bora resolver essa comigo??
O problema envolve duas funções onde é uma função de é uma função de .
Nos é pedido para relacionar a segunda derivada de em relação a com as derivadas em relação a , respectivamente.
Inicialmente, usamos a regra da cadeia para diferenciar em relação a que nos dá:
Essa expressão mostra como a taxa de variação de em relação a é afetada pela taxa de variação de em relação a bem como pela taxa de variação de em relação a
Diferenciamos novamente a expressão em relação a usando a regra do produto, o que nos leva a:
Essa expressão mostra como a curvatura de em relação a é influenciada pelas curvaturas de em relação a respectivamente.
Passo 2
Para mostrar isso a gente só precisa derivar duas vezes , então vamos lá:
Para ser mais fácil de ver o que está acontecendo vamos usar essa notação:
A regra da cadeia nos diz que:
Derivando mais uma vez, usando a regra do produto:
Aquela primeira derivada precisamo da regra da cadeia para simplifica-la:
Passo 3
Esse passo, quando feito na outra notação, fica bem difícil de visualizar. Mas é isso ai agora é só simplificar:
Quando passamos para a outra notação, essa expressão fica:
A mesma do enunciado.
Se a gente quisesse fazer desde o começo por essa notação ia ficar assim:
Derivando mais uma vez:
Passo 4
Usando a regra do produto:
Pela regra da cadeia aquela primeira derivada vai ficar:
Prontinho!
Resposta
Vide a explicação