9-40. Encontre os limites.

40. underset(x -> + oo)(lim) (1 + (1)/(x))^(- x)

Passo 1

Então galera, antes de aplicarmos o limite que nos foi dado, vamos tentar simplificar essa expressão dentro do limite, tudo bem? Utilizando as propriedades de potenciação, podemos fazer o seguinte:

underset(x -> + oo)(lim) (1 + (1)/(x))^(- x) = underset(x -> + oo)(lim) (1)/((1 + (1)/(x))^x)

Tudo bem! Agora que fizemos isso, podemos utilizar uma das propriedades dos limites para fazer:

underset(x -> + oo)(lim) (1)/((1 + (1)/(x))^x) = (underset(x -> + oo)(lim) 1)/(underset(x -> + oo)(lim) (1 + (1)/(x))^x)

Ok, simplificamos o máximo possível nosso limite inicial!

Passo 2

Agora que já simplificamos nossa expressão, temos o seguinte:

underset(x -> + oo)(lim) 1 = 1

Mas e quanto ao limite do denominador, qual é seu resultado? Então pessoal, de acordo com o que vimos na literatura da seção 1.3, esse limite é definido da seguinte forma:

underset(x -> + oo)(lim) (1 + (1)/(x))^x = e

Dessa forma, temos o seguinte:

underset(x -> + oo)(lim) (1 + (1)/(x))^(- x) = (1)/(e)

:. underset(x -> + oo)(lim) (1 + (1)/(x))^(- x) = e^(- 1)

E esse é o nosso resultado, galera!

Resposta

underset(x -> + oo)(lim) (1 + (1)/(x))^(- x) = e^(- 1)

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