Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.3 - Ex. 54
According to Newton’s Law of Universal Gravitation, the gravitational force on an object of mass m that has been projected vertically upward from the earth’s surface is
where is the object’s distance above the surface at time t, R is the earth’s radius, and g is the acceleration due to gravity. Also, by Newton’s Second Law,
and so
- Suppose a rocket is fired vertically upward with an initial velocity v0. Let h be the maximum height above the surface reached by the object. Show that
(Hint: By the Chain Rule, m (dv/dt) = mv (dv/dx)
Passo 1
Temos uma questão bem grande aqui em mãos, mas a resolução é tranquila. Pra começar já temos nossa equação já montada o que facilita muito. Temos
E ele ainda da a dica que podemos desmembrar pela regra da cadeia o que no deixa com
Vamos separar variáveis. Ou seja, v para um lado e x para o outro
Agora é só integrar nos dois lados
Prontinho. Conseguimos descrever como funciona nossa função de velocidade. Temos também dados de contorno que nos ajudam a achar C
Passo 2
Podemos dizer que temos o seguinte dado de contorno
Um pouco vago, eu sei, mas isso vai ser o suficiente para resolver nosso problema.
Agora podemos jogar nosso valor de C na nossa equação
Agora que vem o pulo do gato. Presta atenção . Quando nosso foguete tem
Prontinho, conseguimos demonstrar o que o exercício pedia.
Passo 3
Calculate . This limit is called the escape velocity for the earth
Agora podemos usar uma propriedade de limite. Vamos jogar o limite para dentro da raiz
E agora, basta usar L’Hopital, visto que temos infinito sobre inifinito
Passo 4
Determine
Sabemos que o raio da terra ( R ) = 6.371 km
E gravidade = 9,80665 m/s²
Logo podemos plotar esses valores e descobrir nossa velocidade de escape
Então terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução
: )