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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 9.3 - Ex. 9

Resolva a equação diferencial.

9. (d u)/(d t) = 2 + 2 u + t + t u

Passo 1

Queremos resolver a equação (d u)/(d t) = 2 + 2 u + t + t u , se conseguirmos deixar de um lado termos com somente u e do outro termos com somente t podemos dizer que esta é uma EDO separável, então podemos integrá-la de ambos os lados para encontrar u . Vamos tentar fazer isso:

(d u)/(d t) = 2 + 2 u + t + t u

Hm... aqui para conseguir isolar os termos precisamos ter uma ideia um pouco diferente das outras questões, vamos precisar olhar com calma a expressão e ver o que está acontecendo. Note que temos dois termos que aparece o número 2 e dois termos que aparecem a letra t , então vamos colocar ambos em evidência para ver o que acontece. Assim:

(d u)/(d t) = 2 (1 + u) + t ( 1 + u )

Opa, parece que isso nos ajudou, pois agora veja que o termo ( 1 + u ) aparece duas vezes. Assim, podemos proceder do mesmo jeito, colocando ele em evidência:

(d u)/(d t) = (1 + u) ( 2 + t )

Pronto, agora podemos resolver do jeito que já estamos acostumados:

(d u)/(( 1 + u )) = ( 2 + t ) d t

Mas perceba que u != - 1 .

Passo 2

Agora podemos integrar do lado esquerdo em função de u e do lado direito em função de t , assim:

int (d u)/(( 1 + u )) = int (2 + t) d t

ln | 1 + u | = 2 t + (t^2)/(2) + C (Não esqueça da nossa querida constante C )

Podemos usar uma propriedade dos logaritmos e escrever a equação como:

| 1 + u | = e^(2 t + (t^2)/(2) + C)

| 1 + u | = k e^(2 t + (t^2)/(2)) , onde k = e^C > 0

1 + u = +- k e^(2 t + (t^2)/(2))

u = - 1 +- k e^(2 t + (t^2)/(2)) , onde k > 0

Como k > 0 e e^(2 t + (t^2)/(2)) > 0 , podemos descartar o sinal negativo, então nossa solução fica apenas

u = - 1 + k e^(2 t + (t^2)/(2))

Resposta

9. u = - 1 + k e^(2 t + (t^2)/(2))

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