Ache a área da região limitada pela curva y = 8 / (x² + 4) pelo eixo x, pelo eixo y e pela reta x = 2.

Passo 1

Desenhando a situação descrita pelo problema:

Para calcular a área delimitada pela curva de x indo de 0 até 2 nós precisamos achar a integral desta função:

∫ 0 2 8 . d x x ² + 4  

Segundo o Teorema 8.3.2 as integrais das funções trigonométricas são dadas em função de a ²   e   u ² . Sendo assim,

u = x

a = 2

Derivando u: d u = d x

Substituindo:

∫ 0 2 8 . d x x ² + 4 = ∫ 0 2 8 . d u u ² + ( 2 ) ² = 8 ∫ 0 2 d u u ² + ( 2 ) ²  

Pelo mesmo Teorema:

8 ∫ 0 2 d u u ² + ( 2 ) ² = 8 . 1 2 . t g - 1 x 2 | 2 0 = 4 t g - 1 1 - t g - 1 0 + C

Passo 2

Usando a calculadora:

4 tg - 1 ⁡ 1 - tg - 1 ⁡ 0 = 4 [ π 4 - 0 ] = π

Resposta

Á r e a = π

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